Шаг 5: Отыскание возможных циклов

Отыскание циклов с помощью визуальной проверки.Возмож­но, основной способ отыскания циклов состоит в том, чтобы посчитать время между схожими максимумами и минимумами в ряду данных. Именно этим методом пользовались исследователи (например, Сэмюэл Беннер) для отыскания циклов в XIX столетии. К сожалению, при боль­шом объеме данных этот метод чрезвычайно утомителен. Значительно более простой подход заключается в том, чтобы с помощью линейки измерить расстояния между главными максимумами и минимумами на графике. Одним из инструментов, весьма облегчающих эту процедуру, оказывается определитель циклов Эрлиха, — похожий на аккордеон инструмент с девятью указателями, который может быть растянут таким образом, что указатели оказываются под главными максимумами или минимумами. Одна из проблем, связанных с методами визуальной про­верки, состоит в том, что они не позволяют статистически проверить найденные циклы. Кроме того, трудно обнаружить комбинацию несколь­ких циклов без использования стандартных математических приемов.

Периодограмма.Периодограмма, которая была впервые разработа­на в 1898 г. Шустером, — один из наиболее известных и наиболее важ­ных инструментов исследования цикла. Периодограмма ищет циклы, анализируя данные в табличной форме. Имеющиеся данные будут в хро­нологическом порядке разбиты на колонки, причем количество исполь­зуемых колонок равно длине цикла, который отыскивается. Для каждо­го отыскиваемого цикла определенной длины приходится строить от­дельную периодограмму. Например, если у нас есть годичные данные за 135 лет, и мы хотели бы проверить, присутствуют ли в них 9-годич-ные циклы, нам пришлось бы разбивать данные на девять колонок и пят­надцать строк. Данные в первой точке были бы помещены в первую строку первой колонки; данные во второй точке — в строку 1 и колон­ку 2; данные в девятой точке — в строку 1 и колонку 9; данные в деся­той точке — в строку 2 и колонку 1. Таблица заполняется таким обра­зом, пока данные в 135 точке ни будут помешены в 9 колонку 15 стро­ки. Затем для каждой колонки было бы выведено среднее значение. Если бы в данных присутствовал 9-годичный цикл, мы бы ожидали, что сред­нее значение для одной колонки будет показывать значительный макси­мум, а для другой колонки — значительный минимум. (Если бы 9-годич-ного цикла не было, средние значения для колонок оказались бы при­мерно совпадающими, если тренд предварительно удален из данных.) Табл. 16.1 предоставляет пример периодограммы, использующей логарифмы годичных цен на кукурузу с 1850 по 1989 г. (Логарифмы данных были умножены на 1000, чтобы избежать десятичных дробей.

590 ЧАСТЬ 3. осцилляторы и циклы

Умножение всех данных на константу не будет оказывать какое-либо воздействие на анализ цикла.) Рис. 16.7 показывает диаграмму средних значений всех строк. Если бы из данных был полностью удален тренд, средние значения строк были бы примерно одинаковыми. Общий вос­ходящий тренд в диаграмме средних значений строк возникает благо­даря тому факту, что взятие логарифмов лишь частично снимает на­правленность данных.

Рис. 16.8 показывает средние значения колонок. Тот факт, что на­блюдается существенный пик в восьмой колонке и существенный спад во второй колонке, предполагает, что в данных может присутствовать 9-годичный цикл*.

Если бы, с другой стороны, диаграмма средних значений колонок была относительно плоской, возможность присутствия 9-годичного цик­ла следовало бы исключить. Например, на рис. 16.9 одновременно показаны диаграммы средних значений для периодограмм с восемью и девятью колонками. Как можно видеть, различия между средними зна­чениями в случае восьми колонок значительно меньше, чем в случае девяти колонок. Это означает, что мы можем исключить возможность восьмигодичных циклов в данных.

Главное преимущество периодограммы в том, что она предостав­ляет простой метод идентификации всех возможных циклов, присут­ствующих в данных. Основной недостаток состоит в том, что проце­дура не позволяет определить, какие из найденных возможных циклов статистически значимы (та же самая проблема, что и в случае визуаль­ной проверки). Другими словами, всегда присутствует некоторый раз­брос средних значений колонок. Как мы можем судить, является ли этот разброс статистически важным? В случае только что приведен­ного примера данных по кукурузе интуитивно ясно, что разброс сред­них значений в периодофамме, состоящей из восьми колонок, не ва­жен, но как мы можем убедиться в том, что разность между средними значениями колонок в периодофамме, состоящей из девяти колонок, статистически значима? Проверка статистической достоверности цик­лов стала возможной после разработки гармонического анализа, ко­торый использует периодограмму как базу при тестировании статис­тической значимости циклов. Позже мы вернемся к вопросу статисти­ческой проверки.

Наблюдательный читатель может поинтересоваться, не связан ли тот факт, что спад появляется в колонке с маленьким номером (2), а пик в колонке с большим номером (8), просто с тем, что в данных остался некий тренд. Хотя присутствие тренда действительно будет вести к более высоким средним зна­чениям в колонках с большими номерами, влияние тренда на эти данные явно недостаточно, чтобы объяснить значительный разброс средних значений в пе­риодофамме, состоящей из девяти колонок. Этот момент станет очевидным, как только мы рассмотрим периодограмму из восьми колонок.

Таблица 16.1. ПЕРИОДОГРАММА.

ел

Рисунок 16.7.