Арифметические основы микропроцессорной техники

С точки зрения технической реализации наиболее эффективной оказалась двоичная система счисления. Для записи числа в этой системе требуется только две цифры: 0 и 1. Для аппаратной же реализации цифр двоичной системы требуется только два устойчивых физических состояния: наличие или отсутствие электрического напряжения, импульсов, отверстий, свечения и т. п.

Любое число Nb, записанное в позиционной системе счисления, может быть представлено в виде степенного разложения:

N_b=K_N K_N-1...K₁K₀K_-1...K_-M =K_N b N + K_N-1B^N-1 +... + K₁b¹ + K₀b⁰+K_-1b^-1 + ... +K_-M b^-M =∑K_I b^I

где b – основание системы счисления, в качестве которого может быть принято любое число;

К_i – цифры или символы числа (0 ≤ К ≤ b – 1);

n, m – соответственно количество целых и дробных разрядов;

i – номер разряда.

Пример вычислений:

Для записи числа в различных системах используются следующие цифры и символы: десятичной (b = 10) – 0,1...9; двоичной (b = 2) – 0,1; восьмеричной (b = 8) – 0,1 ... 7; шестнадцатеричной (b = 16) – 0,1 ... 9, А, В, С, D, Е, F. Как видно, в шестнадцатеричной системе счисления записи чисел кроме цифр десятичной системы используются буквы А, В, С, D, Е, F, соответствующие числам 10, 11, 12, 13, 14, 15. Рассмотрим пример перевода целого числа 91 из десятичной системы в двоичную (b = 2), в восьмеричную (b = 8), в шестнадцатеричную (b = 16).

Итак, 9110 = 1011011₂ = 1338 = 5В16. Стрелкой показано направление чтения результатов (остатков) в новой системе счисления.

Запись многоразрядных чисел в двоичной системе громоздка для восприятия. Поэтому для компактности пользуются записью в восьмеричной и шестнадцатеричной системах. Например, число 9110, рассмотренное выше и записанное в двоичной форме, переводится в восьмеричную и шестнадцатеричную формы путем группировки цифр двоичного числа соответственно по триадам и перевода каждой группы отдельно.

10110112 = 9110

001011011 = 1338

01011011 = 5В16

Как видно, перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичные и обратно не требует вычислений и легко может выполняться автоматически.

Арифметические операции в МП осуществляются в двоичной системе счисления так же, как и в десятичной, за исключением того, что перенос и заем соседнего разряда выполняется не по 10, а по 2 единицам.

Если представить каждую десятичную цифру совокупностью из четырех разрядов (тетрада) двоичной системы, то можно получить комбинированную систему счисления, которая называется двоично-кодированной десятичной системой счисления. Эта система счисления обладает достоинствами двоичной системы и удобством десятичной. В микропроцессорной технике наибольшее применение нашла система двоично-десятичного кодирования 8421. Наряду с кодированием цифр рассмотренный код применяется для кодирования букв и символов.

Например, если числа 0, 1, 2, … , 9 представить двузначными числами 00, 01, 02, … 09, то остальные двузначные числа от 10 до 99 могут быть использованы для представления символов (+, –, /, × и др.) и букв А, Б, … Я.