Сечение конуса вращения плоскостью

В общем случае следует считать, что образующие конуса продолжаются за вершину, поэтому коническая поверхность имеет две полы.

Конические сечения

1. Окружность, если плоскость перпендикулярна оси конуса.

2. Эллипс, если плоскость наклонена к оси конуса и пересекает все

3. Парабола, если плоскость параллельна одной образующей конуса.

4. Пара прямых (образующих), если плоскость проходит через вершину конуса.

5. Гипербола, если плоскость параллельна двум образующим конуса (в частном случае, если плоскость параллельна оси конуса).

Плоскость Ω, параллельная одной образующей конуса, не пересечет вторую полу конуса. В сечении получается кривая с одной ветвью – парабола.

Плоскость Ф, параллельная двум образующим, пересечет и вторую полу конуса. В сечении получается кривая с двумя ветвями – гипербола.

Пример. Построить проекции линии пересечения конуса плоскостью Λ.

Решение.

Плоскость Λ пересекает все образующие конуса и наклонена к его оси, поэтому в сечении получится эллипс. Конус подрезан основанием выше точки 1, поэтому эллипс будет неполным. Однако для удобства построений левую очерковую образующую целесообразно продлить до пересечения с плоскостью, чтобы получить точку 1.

1.Характерные точки

1.1 Точки 1₂, 2₂ – на фронтальном очерке конуса; отрезок 1₂-2₂ – величина

большой оси эллипса.

1.2 Отрезок 3-4 – малая ось эллипса. Малая ось эллипса перпендикулярна

большой оси и делит ее пополам. В данном примере малая ось – фронтально-проецирующая прямая. Поэтому на фронтальную плоскость она проецируется в точку 3₂=4₂, лежащую в середине отрезка 1₂-2₂. На горизонтальную и профильную плоскости малая ось проецируется в натуральную величину.

Чтобы найти горизонтальные проекции точек 3 и 4, проведена параллель m, которая на П₂ проецируется в прямую, перпендикулярную оси конуса, а на П₁ – в окружность.

1.3 Точки 5 и 6 – на профильном очерке конуса; очевидные.

1.4 Точки 7 и 8 лежат на окружности основания конуса; очевидные.

2.Промежуточные точки в этом решении не построены, чтобы не

перегружать чертеж. На более крупном чертеже следует найти хотя бы одну пару промежуточных точек тем же способом, что и точки 3 и 4.

Далее – те же действия, что описаны в пунктах 3, 4 и 5.