Сечение сферы плоскостью

Сфера всякой плоскостью пересекается по окружности. Если секущая плоскость параллельна плоскости проекций, то окружность проецируется на эту плоскость в натуральную величину.

Окружность, лежащая в наклонной плоскости, проецируется в эллипс.

В сечении сферы плоскостью Σ получается окружность диаметром d, равным отрезку 1₁-2₁. У этой окружности – множество диаметров и все они как-то искажены при проецировании на плоскости П₂ и П₃. Самое большое искажение у диаметра 1-2: отрезок 1₂-2₂ соответствует малой оси эллипса. И только один из всех диаметров – диаметр 3-4,перпендикулярный плоскостиП₁, а следовательно, параллельный плоскостям П₂ и П_3, проецируется на эти плоскостив натуральную величину и определяет большую ось эллипса (отрезок 3₂-4₂).

Пример. Построить проекции линии пересечения сферы плоскостью Λ.

Решение. В сечении сферы фронтально-проецирующей плоскостьюполучается окружность диаметром 1₂-2₂, которая на плоскости П₁ и П₃проецируется в эллипсы.

1.Характерные точки

1.1 Точки 1₂, 2₂ – на фронтальном очерке сферы; проекции этого отрезка на

плоскости П₁ и П₃ – малые оси эллипсов: 1₁-2₁ и 1₃-2₃ соответственно.

1.2 Точка 3₂=4₂ – проекция большой оси эллипса. Она лежит в середине отрезка 1₂-2₂ и совпадает с проекцией центра окружности, которая получилась в сечении. Можно найти эту точку, опустив перпендикуляр из центра сферы на плоскость Λ. Горизонтальная и профильная проекции отрезка 3-4( 3₁-4₁ и 3₃-4₃) лежат на соответствующих линиях связи и равны диаметру окружности (длине отрезка 1₂-2₂). 1.3 Точки 5 и 6 лежат на профильном очерке сферы; очевидные.

1.4 Точки 7 и 8 – на горизонтальном очерке сферы; очевидные.

2. Промежуточные точки 9 и 10 определены с помощью параллели m.

3. Определение видимости кривой. На горизонтальной проекции границы видимости – точки 7 и 8 – на горизонтальном очерке. Участок эллипса 7-1-8 –невидимый, так как лежит на нижней половине сферы.

На профильной проекции границы видимости – точки 5 и 6 – на профильном очерке. Участок эллипса 6-2-5 –невидимый, так как лежит на невидимой половине сферы.

4. Натуральный вид фигуры сечения – окружность (но не эллипс!).

Линейчатой называют поверхность, которая образуется движением прямой линии (образующей) в пространстве. В зависимости от закона движения образующей прямой выделяют три вида линейчатых поверхностей. Линейчатые поверхности с тремя направляющими образуются движением прямолинейной образующей по трем направляющим a,bиc (кривым или прямым), которые единственным образом определяют движение образующей l. Так, выбрав на направляющей aлюбую точку А, можно будет провести через эту точку бесконечное множество прямолинейных образующих конической поверхности

Рисунок 1

с вершиной в точке А и пересекающих направляющую c. Из рисунка1 видно, что через точку А, взятую на направляющей a,проходит одна и только одна прямолинейная образующая, пересекающая две другие направляющие bиc.

Описанным способом через точки, принадлежащие направляющей a,можно построить любое число прямолинейных образующих, которые выделят в пространстве одну единственную линейчатую поверхность.

Рисунок 2

Примером линейчатой поверхности с тремя направляющими является однополосный гиперболоид, у которого направляющими служат три произвольно скрещивающиеся прямые a,b иc (рис. 2).

Часто линейчатые поверхности задаются меньшим числом направляющих. В этих случаях отсутствие недостающих направляющих дополняют условиями, обеспечивающими заданный характер движения образующей. Для получения линейчатых поверхностей с двумя направляющими задается дополнительное условие сохранения параллельности образующей какой-либо плоскости, называемой плоскостью параллелизма, или сохранения заданного угла наклона образующей относительно какой-либо плоскости или оси вращения (у геликоидов). Такие поверхности называются поверхностями с плоскостью параллелизма. К ним относятся:

- цилиндроид образуется движением прямолинейной образующей l по двум криволинейным направляющим a иb, причем во всех своих положениях образующая параллельна некоторой плоскости параллелизма Σ

Рисунок 3.

- коноид образуется движением прямолинейной образующей l по двум направляющим, из которых одна является кривой линией a, а другая – прямой b, причем во всех своих положениях образующая параллельна некоторой плоскости параллелизма Σ.

Рисунок 4. Рисунок 5.

На рис. 4 изображена косая плоскость, направляющими которой служат

прямые a иb,а плоскость параллелизма – горизонтальная плоскость проекций П1, следовательно, образующие косой плоскости являются горизонталями.

Так как в сечении косой плоскости можно получить, кроме прямолинейных образующих и направляющих, также гиперболу и параболу, эту поверхность еще называют гиперболическим параболоидом. Параболой является горизонтальный очерк косой плоскости, приведенной на рис. 5.

- торс образуется движением прямолинейной образующей l, касающейся во всех своих положениях некоторой пространственной кривой m, называемой ребром возврата. Ребро возврата является направляющей торса, который полностью определяет поверхность