Решение однородных систем.

Определение 2. Однородной называется система линейных уравнений, все свободные члены которой равны нулю

. (**)

Главной особенностью таких систем является то, что системы (**) всегда совместны, т. к. при каждое уравнение системы обращается в тождество.

Определение 3. Решение однородной системы линейных уравнений
называется нулевым или тривиальным решением.

Теорема 2. (Теорема о существовании ненулевых решений ОСЛУ )
Однородная система (**) всегда совместна, т. к. всегда имеет нулевое решение. Для существования ненулевых решений необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был строго меньше числа неизвестных

.

Примеры.

1). Решить ОСЛУ

Решение.

Найдем ранг матрицы системы. Для этого вычислим ее главный определитель (минор 2-го порядка)

.

По теореме 2 система имеет только тривиальное решение.

Ответ: .

2). Решить ОСЛУ

.

Решение.

Матрица системы имеет размер 2×3, следовательно, ранг матрицы , число неизвестных п=3. По теореме 2 система имеет ненулевые решения.

Запишем матрицу системы и элементарными преобразованиями только по строкам приведем ее к треугольному виду

ранг матрицы равен 2. Приведем базисный минор к единичному виду

переменные − базисные, − свободная.

Ответ : общее решение

.