Свойства определителей.

Определители 1, 2, 3-го порядка.

Определение 1. Определителем квадратной матрицы А называется число, которое обозначается , detA, ∆

.

Порядок матрицы является и порядком определителя.

Элементы образуют главную диагональ, а элементы – побочную.

Вычисление определителей 1, 2, 3-го порядка.

1). Определитель первого порядка (п=1) равен своему элементу: = .

Пример. .

•

•

•

•

_

•

•

•

•

=

•

•

•

•

2). Определитель второго порядка (п=2) равен произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали: , т.е.

Пример.

.

3). Определитель третьего порядка (п=3) можно вычислить по правилу треугольников (правилу Саррюса):

т.е.

Пример.

Определители более высоких порядков вычисляются с помощью свойств определителей.

Свойства определителей.

1°. Значение определителя не меняется при транспонировании

.

Пример.

2°. При перестановке двух строк или двух столбцов определитель меняет знак.

Пример.

3°. Определитель, имеющий строку (или столбец), состоящую из нулей, равен нулю.

Пример.

4°. Общий множитель строки или столбца можно выносить за знак определителя.

Пример.

5°. Если к элементам одной строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или другого столбца), умноженные на одно и то же число, то значение определителя не изменится.

Пример.

6°. Определитель, имеющий пропорциональные строки (или столбцы) равен нулю.

Пример.

, т.к. соответствующие элементы первого и третьего столбцов пропорциональны.

7°. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) можно представить в виде суммы двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей такого вида:

.

Пример.