Логарифмические частотные характеристики АСР.

Кроме перечисленных частотных характеристик используют еще логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ) — логарифмические амплитудные частотные характеристики (ЛАЧХ) и логарифмические фазовые частотные характеристики (ЛФЧХ). Назовем функцию

L(ω) = 20 lg A(ω) = 20 lg|W(jω)| (4.5)

логарифмической амплитудной частотной функцией. График зависимости логарифмической амплитудной частотной функции L(ω) от логарифма частоты (lgω) называют логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ). При построении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе: на отметке, соответствующей значению lgω, пишут само значение ω, а не значение lgω, а по оси ординат — L(ω). Логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФЧХ) называют график зависимости фазовой частотной функции φ(ω) от логарифма частоты lgω. При его построении по оси абсцисс, как и при построении ЛАЧХ, на отметке, соответствующей значению lgω, пишут значение ω.

Единицей L(ω) является децибел, а единицей логарифма частоты в ЛЧХ — декада. Декадой называют интервал, на котором частота изменяется в 10 раз. При изменении частоты в 10 раз говорят, что она изменилась на одну декаду.

Ось ординат при построении ЛЧХ проводят через произвольную точку, а не через точку ω = 0. Частоте ω = 0 соответствует бесконечно удаленная точка: lg ω → — ∞ при ω → 0.

При построении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе. Отрезок оси абсцисс, соответствующий изменению частоты в 10 раз, называется декадой, а отрезок, соответствующий изменению частоты в 2 раза, — октавой.

По оси ординат ЛАЧХ откладывают при равномерном масштабе логарифмическую амплитуду

L = 20 lg A дБ.

Нуль логарифмической амплитуды соответствует A = 1.

Нуль оси абсцисс лежит слева в бесконечности, так как lg 0 = —∞, поэтому ось ординат может пересекать ось абсцисс в любой точке. Эту точку выбирают так, чтобы график охватывал нужный диапазон частот.

У ЛФЧХ такая же ось абсцисс, а по оси ординат в равномерном масштабе откладывают фазу φ(ω) в градусах (или радианах).

ЛФЧХ строят обычно под ЛАЧХ с тем, чтобы изменение фазы можно было сопоставить с изменением амплитуды. Оси абсцисс ЛАЧХ и ЛФЧХ можно совмещать.

Логарифмические частотные характеристики удобны тем, что небольшим графиком может быть охвачен широкий диапазон частот. При этом одинаково наглядно изменение частотных свойств как на малых, так на средних и высоких частотах. Небольшим графиком охватывается и широкий диапазон изменения амплитуды с одинаковой наглядностью изменения больших и малых амплитуд.

Кроме того, оказывается, что значительные участки ЛАЧХ с большой точностью могут быть заменены прямыми линиями — асимптотами. Они имеют отрицательный и положительный наклон, кратный 20 дБ/дек, т. е. 0 дБ/дек, — 20 дБ/дек, —40 дБ/дек, ..., а также +20 дБ/дек, +40 дБ/дек, ...,

В ряде случаев оказывается возможным пренебречь кривизной ЛАЧХ на отдельных небольших участках частот. Тогда ЛАЧХ изображается отрезками прямых (асимптотами) и называется асимптотической ЛАЧХ. Для ее построения нужны лишь весьма простые вычисления.

Рисунок 4.2 - Типовые асимптотические ЛАЧХ

Наиболее характерный вид имеют ЛАЧХ при следующих значениях модуля А частотной передаточной функции:

а) А = k. В этом случае L = 20 lg k есть постоянная величина и ЛАЧХ представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс (рисунок 4.2, a);

б) А = k/ω. В этом случае L = 20 lg k — 20 lgω. При ω = 1 имеем L = =20lg k и на протяжении одной декады (с увеличением ω в 10 раз) L уменьшается на 20 дБ. ЛАЧХ представляет собой прямую с наклоном —20 дБ/дек, проходящую через точку В с координатами [1; 20 lg k] (рисунок 4.2, б);

в) A = kω. В этом случае L = 20 lg k + 20 lg ω. Так же как и в предыдущем случае, при ω = 1 имеем L = 20 lg k. Затем, с увеличением ω, увеличивается и L на 20 дБ/дек. ЛАЧХ есть прямая с наклоном +20 дБ/дек, проходящая через точку В c координатами [1; 20 lg k] (рисунок 4.2, в);

г) . В этом случае L = 20 lg k — 10 lg (1 + ω²T²)

При малых частотах ω²T² << 1 имеем L ≈ 20 lg k. Это низкочастотная асимптота, параллельная оси абсцисс. При больших частотах ω²T² >>1 имеем L ≈ 20 lg k — 20 lg ωT. Это высокочастотная асимптота, которая уменьшается на 20 дБ/дек. Следовательно, асимптотическая ЛАЧХ образуется двумя асимптотами, которые сопрягаются при частоте ω_c = 1/T (рисунок 4.2, г), так как при этой частоте удовлетворяются уравнения обеих асимптот;

д) . В этом случае L = 20 lg k + 10 lg (1 + ω²τ²). Как и в предыдущем случае, асимптотическая ЛАЧХ составляется двумя асимптотами, которые сопрягаются при частоте ω_с = 1/τ, но высокочастотная асимптота имеет положительный наклон (рисунок 4.2, д);

е) ,

где ξ < 1. В данном случае L = 20 lg k — 10 lg [ 1 + 2ω² T² (2ξ² — 1) + ω⁴T⁴]. На малых частотах L ≈ 20 lg k и на высоких частотах L ≈ 20 lg k — 40lgωT. Асимптотическая ЛАЧХ, как и в двух предыдущих случаях, составляется двумя асимптотами, которые сопрягаются при частоте ω_c=1/T. Низкочастотная асимптота параллельна оси абсцисс, а высокочастотная имеет отрицательный наклон и уменьшается на 40 дБ/дек (рисунок 4.2, е);

ж) , где ζ< 1. В этом случае L = 20 lg k + 10 lg [1 + 2ω²τ²(2ζ²-1)+ω⁴τ⁴].

Асимптотическая ЛАЧХ опять составляется двумя асимптотами, которые сопрягаются при частоте ω_c = 1/τ. Низкочастотная асимптота L ≈ 20 lg k параллельна оси абсцисс, а высокочастотная L ≈ 20 lg k + 40 lg ωτ имеет положительный наклон — увеличивается на 40 дБ/дек (рисунок 4.2, ж).