Критерий устойчивости Гурвица


В 1895 г. немецким математиком А. Гурвицем был разработан алгебраический критерий устойчивости в форме определителей, составляемых из коэффициентов характеристического уравнения системы.

Из коэффициентов характеристического уравнения (13.1) строят сначала главный определитель Гурвица

(13.8)

по следующему правилу: по главной диагонали определителя слева направо выписывают все коэффициенты характеристического уравнения от а1 до an в порядке возрастания индексов. Столбцы вверх от главной диагонали дополняют коэффициентами характеристического уравнения с последовательно возрастающими индексами, а столбцы вниз — коэффициентами с последовательно убывающими индексами. На место коэффициентов с индексами больше п (п — порядок характеристического уравнения) и меньше нуля проставляют нули.

Отчеркивая в главном определителе Гурвица, как показано пунктиром, диагональные миноры, получаем определители Гурвица низшего порядка:

(13.9)

Номер определителя Гурвица определяется номером коэффициента по диагонали, для которого составляют данный определитель. Критерий устойчивости Гурвица формулируется следующим образом: для того чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы, все определители Гурвица имели знаки, одинаковые со знаком первого коэффициента характеристического уравнения a0, т. е. при a0 > 0 были положительными.

Таким образом, при a0 > 0 для устойчивости системы необходимо и достаточно выполнения следующих условий:

(13.10)

 

Раскрывая, например, определители Гурвица для характеристических уравнений первого, второго, третьего и четвертого порядков, можно получить следующие условия устойчивости:

1) для уравнения первого порядка (п = 1), т. е. a0s + a1 = 0, условия устойчивости

2) для уравнения второго порядка (п = 2), т. е. a0s2 + a1s + a2 = 0, условия устойчивости

3) для уравнения третьего порядка (п = 3), т. е. a0s3 + a1s2 + a2s + a3 = 0, условия устойчивости

4) для уравнения четвертого порядка (n = 4), т. е. a0s4 + a1s3 + a2s2 + a3s + a4 = 0 условия устойчивости

Таким образом, необходимым и достаточным условием устойчивости для систем первого и второго порядков является положительность коэффициентов характеристического уравнения. Для уравнения третьего и четвертого порядков кроме положительности коэффициентов необходимо соблюдение дополнительных неравенств.

При п 5 число подобных дополнительных неравенств возрастает, процесс раскрытия определителей становится довольно трудоемким и громоздким. Поэтому критерий устойчивости Гурвица обычно применяют при п = 4. При п 5 целесообразно применять формулируемый ниже критерий устойчивости Льенара — Шипара либо при использовании критерия устойчивости Гурвица переходить к численным методам с использованием ЭВМ.

В последнем столбце главного определителя Гурвица (13.8); отличен от нуля только один коэффициент an, поэтому

(13.11)

Из (13.11), видно, что при an > 0 для проверки устойчивости системы достаточно найти только определители Гурвица от Δ1 до Δn-1. Если все определители Гурвица низшего порядка положительны, то система находится на границе устойчивости, когда главный определитель равен нулю:

(13.12)

Последнее равенство возможно в двух случаях: an = 0 или Δn-1 = 0. В первом случае система находится на границе апериодической устойчивости (один из корней характеристического уравнения равен нулю); во втором случае — на границе колебательной устойчивости (два комплексно-сопряженных корня характеристического уравнения находятся на мнимой оси).

Используя критерий Гурвица, можно при заданных параметрах системы принять за неизвестный какой-либо один параметр (например, коэффициент усиления, постоянную времени и т. д.) и определить его предельное (критическое) значение, при котором система будет находиться на границе устойчивости.

Следует заметить, что критерий Гурвица можно получить из критерия Рауса, поэтому иногда критерий Гурвица называют критерием Рауса — Гурвица.

 

15. Критерий устойчивости Михайлова

Принцип аргумента

В основе частотных критериев устойчивости лежит следствие из известного в теории функций комплексного переменного принципа аргумента, который кратко излагается ниже.

Пусть дан некоторый полином n-й степени D (s) = a0sn + a1sn-1 + … + an.

Этот полином в соответствии с теоремой Безу можно представить в виде

D(s) = a0(s – s1)(s – s2)…(s – sn), где si = αi + jωi корни уравнения D(s) = 0.

 

На комплексной плоскости s каждый корень геометрически может быть изображен вектором, проведенным из начала координат к точке si (рисунок 14.1, а). Длина этого вектора равна модулю комплексного числа si т. е. |si|, а угол, образованный вектором с положительным направлением действительной оси, — аргументу или фазе комплексного числа si т. е. Arg si.

Величины (s — si) геометрически изображаются векторами, проведенными из точки si к произвольной точке s (рисунок 14.1, б). В частном случае при s = получим

(14.1)

Концы элементарных векторов (si) будут находиться на мнимой оси в точке s = (рисунок 14.1, в).

В выражении (14.1) D(jω) представляет собой вектор, равный произведению элементарных векторов (si) и действительного числа a0.

Модуль этого вектора равен произведению модулей элементарных векторов и a0:

(14.2)

а аргумент или фаза его равна сумме аргументов элементарных векторов:

(14.3)

Условимся считать вращение против часовой стрелки положительным. Тогда при изменении ω от — ¥ до ¥ каждый элементарный вектор повернется на угол π, если его начало, т. е. корень si расположено слева от мнимой оси, и на угол — π, если корень расположен справа от мнимой оси (рисунок 14.2).

Предположим, что полином D(s) имеет т правых корней и nт левых.

Рисунок 14.1 – Изображение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости в виде векторов

 

Рисунок 14.2 – Поворот векторов при изменении частоты ω от -∞ до ∞

 

Тогда при изменении ω от — ¥ до ¥ изменение (приращение) аргумента вектора D(jω), равное сумме углов поворота векторов (si), равно

(14.4)

Отсюда вытекает следующее правило: изменение (приращение) аргумента D (jω) при изменении частоты ω от — ¥ до ¥ равно разности между числом левых и правых корней уравнения D (s) = 0, умноженной на π.

Очевидно, что при изменении частоты ω от 0 до ¥ изменение аргумента вектора D(jω) будет вдвое меньше:

(14.5)

Каждый из векторов (jω — si), соответствующих вещественным корням, повернется теперь на угол π/2 или — π/2.

Векторы [jω – (αi + jωi)], [jω – (ai – jωi)], которые составляют пару, соответствующую, например, двум комплексно-сопряженным корням, повернутся: один — на угол π/2 + γ, а другой — на π/2 — γ, где γ — угол, образованный вектором, проведенным от корня в начало координат, с осью абсцисс (рисунок 14.2). Общее приращение аргумента произведения этих векторов при изменении ω от 0 до ¥ равно: π/2 + γ + π/2 – γ = π.

В основу всех частотных критериев устойчивости положено уравнение (14.4), определяющее приращение аргумента D(jω) при изменении ω от — ¥ до ¥, или (14.5) — при изменении ω от 0 до ¥.



Дата добавления: 2022-07-20; просмотров: 104;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.011 сек.