Логарифмический критерий устойчивости. Запас устойчивости

В инженерной практике широкое применение получил анализ устойчивости систем автоматического управления, основанный на применении логарифмических частотных характеристик разомкнутой системы. Это обусловлено прежде всего тем, что построение логарифмических частотных характеристик разомкнутых систем, особенно асимптотических логарифмических частотных характеристик, значительно проще, чем построение годографа амплитудно-фазовых характеристик.

Покажем, каким требованиям должны удовлетворять логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАХ) и логарифмическая фазочастотная характеристика (ЛФХ) разомкнутой системы, при которых обеспечивалась бы устойчивость системы в замкнутом состоянии.

Как было показано выше, устойчивость связана с числом переходов амплитудно-фазовой характеристики W(jω) отрезка (— ¥ , — 1) отрицательной вещественной полуоси. Когда амплитудно-фазовая характеристика W(jω) пересекает отрицательную вещественную полуось, ЛФХ пересекает одну из линий ±π (2i + 1), где i = 0, 1,2, 3, ... (рисунок 1.1). Переходы через эти линии не опасны с точки зрения устойчивости, если они совершаются справа от точки (— 1, j0), т. е. если при этом модуль амплитудно-фазовой характеристики меньше единицы |W(jω)| < 1 и, следовательно, если ординаты ЛАХ отрицательны, т. е. Lm A(ω) = 20 lg |W(jω)| < 0. Поэтому область отрицательных ЛАХ при исследовании устойчивости интереса не представляет.

Положительному переходу (сверху вниз) через отрезок (— ¥, — 1) характеристики W(jω) соответствует пересечение ЛФХ при Lm А(ω) > 0 прямых ± π (2i + 1) снизу вверх (точка 2 на рисунке 1.1), а отрицательному переходу — сверху вниз (точка 1 на рисунке 1.1).

Критерий устойчивости Найквиста применительно к логарифмическим частотным характеристикам может быть сформулирован следующим образом: для того чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов логарифмической фазочастотной характеристикой прямых ± π(2i + 1 ), i= 0,1, 2,..., во всех областях, где логарифмическая амплитудно-частотная характеристика положительна Lm A(ω) > 0, была равна l/2 (l — число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы).

Рисунок 1.1 – Частотные характеристики для определения устойчивости по критерию Найквиста

На рисунке 1.1 приведены для примера амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы W(jω) и соответствующие ей ЛАХ и ЛФХ. Из анализа этих ЛАХ и ЛФХ видно, что разность между числом положительных и отрицательных переходов ЛФХ прямых — π при Lm А (ω) > 0 равна нулю. Таким образом, если разомкнутая система была устойчива (l = 0), то и замкнутая система будет устойчива, при этом запасы устойчивости по амплитуде равны h₁ и h₂, а запас устойчивости по фазе равен φ.

Оценка качества переходного процесса при воздействии ступенчатой функции

При исследовании систем автоматического регулирования приходится решать задачу обеспечения требуемых показателей качества переходного процесса: быстродействия, колебательности, перерегулирования, характеризующих точность и плавность протекания процесса. Будем, как и в предыдущих лекциях, предполагать, что система автоматического регулирования описывается системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. При изменении воздействия g(t) на входе системы (рисунок 1.2) выходную величину х(t) можно записать так:

x(t) = x_св (t) + x_в (t), (1.1)

где х(t) — решение дифференциального уравнения, описывающего систему; x_св(t) — свободная составляющая переходного процесса, соответствующая общему решению однородного дифференциального уравнения.

Если последнее не имеет кратных корней, то

(1.2)

где C_i — постоянная интегрирования, значение которой определяют параметры системы и начальные условия; s_i — корни характеристического уравнения замкнутой системы D(s) = 0; x_в(t) — вынужденная составляющая

Рисунок 1.2 – Структурная схема системы автоматического управления с отрицательной обратной связью

переходного процесса, обусловленная законом изменения g(t).

Из формулы (1.1) видно, что качество переходного процесса можно оценить по его составляющим x_св (t) и x_в(t).

В этом смысле различают две группы показателей: первая группа—показатели качества переходного процесса x_св (t); вторая — показатели, характеризующие вынужденную (установившуюся) составляющую x_в(t), по которой определяют точность системы.

Показатели качества, определяемые непосредственно по кривой переходного процесса, называют прямыми оценками качества. Кривая переходного процесса может быть получена теоретически или экспериментально.

В тех случаях, когда расчет переходного процесса связан с большими трудностями, используют косвенные оценки качества. Например, к косвенным оценкам качества можно отнести запасы устойчивости по фазе и по амплитуде.

Прямые оценки качества переходного процесса

Переходный процесс в системе зависит не только от свойств САУ, но и от характера внешнего воздействия, которое в общем случае может быть сложной функцией времени. Поведение системы рассматривают при следующих типовых воздействиях: единичной ступенчатой функции 1 (t), импульсной δ(t) и гармонической функций. Прямые оценки качества получают по кривой переходной характеристики h(t), т. е. при воздействии единичной ступенчатой функции

и нулевых начальных условиях.

Эту характеристику можно построить для выходной величины или для отклонения ε_cв(t) (рисунок 1.3, а, б). К прямым оценкам качества относят:

1. Время регулирования t_p — минимальное время, по истечении которого регулируемая величина будет оставаться близкой к установившемуся значению с заданной точностью

при

или

где Δ — постоянная величина, значение которой нужно оговаривать (задается величина Δ в процентах от установившегося значения выходной величины h_уст).

Рисунок 1.3 – Переходная характеристика и ошибка ε(t) звена с отмеченными на ней прямыми показателями качества

2. Перерегулирование σ — максимальное отклонение переходной характеристики от установившегося значения выходной величины, выраженное в относительных единицах или процентах:

где h_max1 — значение первого максимума, или

Допустимое значение перерегулирования в каждом конкретном случае будет подсказано опытом эксплуатации системы, обычно σ = 10 — 30 %, но в некоторых случаях допускается и до 70 %. Иногда перерегулирование недопустимо совсем.

3. Частоту колебаний ω = 2π/Т, где Т — период колебаний для колебательных переходных характеристик.

4. Число колебаний п, которое имеет переходная характеристика h(t) или ε_св(t) за время регулирования (t_р).

При проектировании систем чаще всего допускают п = 1 — 2, а иногда и до 3—4, но в некоторых случаях колебания в системе недопустимы.

5. Время достижения первого максимума t_max

6. Время нарастания переходного процесса t_н — абсциссу первой точки пересечения кривой переходной характеристики h(t) с уровнем установившегося значения h_уст или кривой отклонения ε_св(t) с осью абсцисс.

8. Декремент затухания κ, равный отношению модулей двух смежных перерегулирований:

Перечисленные показатели качества могут быть дополнены другими, но это обусловлено спецификой конкретной системы.

Определение приведенных выше прямых оценок качества переходного процесса проиллюстрировано на рисунке 1.4, а, б. Переходные процессы, возникающие в системах при скачкообразных воздействиях, принято делить на три группы: монотонные, апериодические и колебательные. У монотонных процессов первая производная выходной величины dх(t)/dt меняет знак (кривая а на рисунке 1.4), у апериодических знак производной dх(t)/dt меняется не более одного

Рисунок 1.4 – Различные виды переходных характеристик

раза (кривая б на рисунке 1.4), а у колебательных — первая производная dх(t)/dt меняет свой знак периодически (теоретически бесконечное число раз) (кривая в на рисунке 1.4).

Нужно отметить, что в настоящее время при бурном развитии вычислительной техники трудности, связанные с расчетом переходных процессов и выбором возможных вариаций параметров системы, существенно уменьшаются, поэтому роль прямых оценок качества при проектировании САУ возрастает.

19. Исследование устойчивости АСР с запаздыванием