Применение различных систем счисления в электронных устройствах.

В цифровых системах информация представляется в двоичном (бинарном) коде, состоящем из двух символов: логического «0» и логической «1». Наличие двух символов определяет применение в цифровых устройствах двоичной системы счисления.

Системы счисления, в которых значение каждой цифры определяется не только символом, но и разрядом (позицией в числе N), называют позиционными. Нетрудно заметить, что римская система счисления является непозиционной.

Любое число N в позиционной системе счисления с основанием q можно представить в виде полинома:

где q - основание системы счисления;

m - номер разряда, отчитываемого от нулевого;

- коэффициент i-го разряда (элемента числа N(q)), принимающий значения 0, 1,..., (q-1) - в зависимости от величины N(q).

Например, число 7526(10) в обычной десятичной системе (q=10) может быть представлено в виде:

Как видно, коэффициенты нулевого разряда (a₀=6) определяет количество единиц в числе N(10), коэффициент первого разряда (a₁=2) - число десятков и т.д.

Для представления числа в двоичной системе счисления принимаем в основание q=2. Тогда

где a_i - коэффициент при разряде, принимающий одно из двух значений (0 или 1) в зависимости от величины N(2).

Например, число 26₁₀ в двоичной системе можно представить в виде:

Правило перевода числа из десятичной системы в двоичную заключается в последовательном его делении на 2 (основание двоичной системы) до тех пор, пока частное от деления не станет равным 1. Тогда искомое число в двоичной форме можно сформировать из этого частного и всех остатков, начиная с последнего (справа налево).

В цифровых вычислительных системах используют также комбинированную, десятично-двоичную, систему счисления, облегчающую запись больших чисел с применением двоичного кода. В этом случае каждый разряд десятичного числа записывают двоичным кодом, используя для этого соответствующие тетрады, т.е. четырехразрядные двоичные элементы (числа 8 и 9 иначе представить нельзя). Например, число 197(10) в десятично-двоичной системе имеет вид

Недостатком рассматриваемой системы является ее избыточность для чисел 7 и менее (недоиспользуются многие двоичные разряды).

Для устранения этого недостатка в ЭВМ используют восьмеричную систему счисления (q=8), которую можно затем записать в двоичном коде (22.5) с использованием для каждой цифры только трех разрядов - триад. Важнейшее свойство восьмеричной системы состоит в следующем: при записи каждого из разрядов восьмеричной системы триадой двоичного кода полученное выражение представляется в двоичной системе счисления.

Восьмеричные системы применяют в ЭВМ для кодирования адресов и команд. Для этого сначала составляют в восьмеричной системе соответствующую программу, а затем переводят ее в двоичную систему, которую и вводят в вычислительную машину.

Еще более удобна шестнадцатеричная (цифро-буквенная) система счисления, которая образуется из десяти цифровых (0,1, ..., 9) и шести буквенных (A, B,..., F) символов. При этом буквы A, B,..., F изображают соответственно числа 10, 11,..., 15. Например, число В7Е₁₆ обозначает:

В большинстве ЭВМ число разрядов в группе цифровых символов, несущих некоторую порцию информации (так называемое “машинное слово”), кратно 8. Поэтому информационная емкость машинного слова кратна 8 бит. Единицу количества информации достоинством 8 бит именуют байтом (от английского слова byte - слог), т.е. 1 байт =8 бит. Единицы измерения байт и особенно килобайт (кбайт) находят широкое применение при оценке информационных показателей ЭВМ (объемов памяти и т.п.).

Следует отметить, что под приставкой “кило” в цифровой технике понимают увеличение не в 1000 раз, а в 1024 - число, которое представляет собой десятичную степень числа 2.

Так:

1 Кбайт = 2¹⁰ байт = 1024 байт

1 Мбайт = 2²⁰ байт = 1048576 байт

2. Арифметические действия над двоичными числами;

прямой, обратный и дополнительный коды дво­ичного числа.

Кодомназывают такую запись числа, которая отличается от естественной и общепринятой. В математике естественной формой записи числа является запись, при которой непосредственно перед старшей значащей цифрой числа помещается знак плюс (+) или минус (-), а длина записи определяется величиной числа (иначе, количество символов, использованных для записи разных чисел, как правило, не совпадает). В ЭВМ это не так. Одной из важнейших характеристик любой ЭВМ является длина слова в ней. Длина слова определяется количеством двоичных разрядов слова. Поэтому в ЭВМ, вне зависимости от величины числа, его код всегда имеет фиксированное количество двоичных цифр.

В двоичном алфавите нет никаких символов, кроме цифр 0 и 1, и необходимы новые правила для указания знака числа. Суть этих правил сводится к тому, что знак плюс изображается цифрой 0, знак минус - цифрой 1, а цифра, изображающая знак, всегда записывается самой первой в записи числа. Код числа всегда содержит изображение его знака, в отличие от математической записи, которая позволяет опускать знак плюс при изображении положительного числа. Так, код 011101, согласно этим правилам, изображает положительное (самая левая цифра - 0) двоичное число 11101.

Для более простой и экономичной реализации АЛУ применяют несколько разных кодов чисел. Это связано с тем, что разные операции в ЭВМ более просто реализуются в разных кодах.

Прямой код двоичного числа - это само двоичное число, в котором все цифры, изображающие его значение, записываются как в математической записи, а знак числа записывается двоичной цифрой. При этом никакого символа, отделяющего эту цифру от старшей цифры, используемой при изображении его величины, не допускается. В таких случаях говорят о том, что назначение цифры в коде определяется его позицией.

Пример:

Изображаемое число Код

· +1101 (+13) 0000 1101

· +1011101 (+93) 0101 1101

· 1101 (-13) 1000 1101

(В примере коды изображаются восемью цифрами)

Прямой код почти не отличается от принятого в математике: для выявления абсолютной величины (модуля) числа, надо отбросить цифру, обозначающую его знак. Прямой код используется при хранении чисел в памяти ЭВМ, а также при выполнении операций умножения и деления. Однако применительно к операциям сложения и вычитания такой код неудобен: правила счета для положительных и отрицательных чисел различаются.

Обратный код положительного числа совпадает с прямым, а при записи отрицательного числа все его цифры, кроме цифры, изображающей знак числа, заменяются на противоположные (0 заменяется на 1, а 1 - на 0).

Примеры записи.

Изображаемое число Код

· +1101 (+13) 0000 1101

· +1011101 (+93) 0101 1101

· 1101 (-13) 1111 0010

В этом коде как к положительным, так и к отрицательным числам можно применять одни и те же правила, а операцию вычитания (А-В) можно заменить операцией сложения (А+(-В)).

Для восстановления прямого кода отрицательного числа из обратного кода надо все цифры, кроме цифры, изображающей знак числа, заменить на противоположные.

Дополнительный код положительного числа совпадает с прямым, а код отрицательного числа образуется как результат увеличения на 1 его обратного кода. (Процесс построения дополнительного кода отрицательного числа можно разбить на два этапа – построить обратный код, а затем из него построить дополнительный).

Пример:

Число -> - 101101

Прямой код -> 1101101

Обратный код -> 1010010

+1

Дополнительный -> 1010011

Для восстановления прямого кода числа из дополнительного нужно полностью повторить (и именно в том же порядке) действия, которые использовались при переводе из прямого в дополнительный код: сначала все цифры, кроме цифры, изображающей знак, заменить на противоположные, а затем прибавить 1.

Практически все современные цифровые ЭВМ в качестве основной используют двоичную систему счисления. При этом все арифметические операции над двоичными числами можно свести к двум элементарным - сложению и сдвигу двоичных кодов, изображающих числа. Это позволит технически реализовать четыре действия арифметики в одном устройстве, называемом арифметико-логическом (АЛУ), используя одни и те же электрические схемы.

Арифметические действия с двоичными числами просты:

Основным достоинством дополнительного кода является то, что в нем единообразно реализуются операции сложения чисел разных знаков (алгебраическое сложение), а операцию вычитания можно свести к операции сложения заменой знака вычитаемого на обратный.

Сложение и вычитание чисел в обратном и дополнительном кодах выполняется с использованием обычного правила арифметического сложения многоразрядных чисел, при этом разряды, изображающие знаки чисел, рассматриваются как равноправные разряды двоичного числа, которые складываются друг с другом и с единицей переноса из предыдущего разряда числа по обычным правилам арифметики. Различия же обратного и дополнительного кодов связаны с тем, что делается с единицей переноса из старшего разряда.

При сложении чисел в дополнительном коде единица переноса из старшего разряда игнорируется (теряется), а в обратном коде эту единицу надо прибавить к младшему разряду результата.