Дескриптивное и нормативное распределение потоков в сети


 

Будем предполагать, что расходы общества, связанные с конкретной перевозкой, состоят из суммы всех расходов отдельных пользователей транспортной сети.

Предположим также, что имеется фиксированная матрица поездок, то есть известны все компоненты вектора потоков .

Кроме этого имеют место сетевые ограничения и соотношения для роста расходов пользователей сети с увеличением транспортного потока вида

.

Задача состоит в отыскании такого распределения потоков в сети, чтобы все едущие пассажиры минимизировали свои собственные расходы.

Это будет задача дескриптивного распределения потоков в сети.

Задача нормативного распределения потоков в сети имеет те же ограничения и формулируется как задача минимизации суммарных расходов пользователей путем выбора потоков из условия:

при .

Эту задачу минимизации можно поставить и как задачу равновесия в сети. Это возможно в том и только в том случае, когда функция выпуклая при всех сочетаниях , что выполняется при обычных предположенных относительно издержек на поездку по дуге. То есть, тогда, когда издержки возрастают с возрастанием пути вдоль дуги.

В заключении необходимо отметить, что общем случае результаты дескриптивного и нормативного распределений различны.

Дескриптивное и нормативное распределения потоков в сети дают один и тот же результат лишь в том случае, когда на расходы пользователя не влияют транспортные потоки и, следовательно, нет перегруженности сети.

Пример.

Поездка в часы «пик», когда, например, на автомагистрали имеют место автомобильные пробки.

 

Парадокс Брайеса

 

В 1968 году американский специалист по транспортной логистике Брайес опубликовал парадокс, возникающий при планировании перевозок.

Парадокс заключается в том, что добавление дуги к сети может повлечь за собой увеличение общих расходов для каждого пользователя.

Приведем пример парадокса Брайеса (Рисунок 20).

 

 

Рисунок 20 – Парадокс Брайеса:

а) исходная сеть; б) сеть с добавленной дугой 34

 

Заданы следующие соотношения по расходам пользователей:

Задан поток величиной в 6 единиц из пункта 1 в пункт 2. В случае а) дуга 34 отсутствует.

Рассмотрим решение по дескриптивному распределению. Оно будет состоять в том, что поток по дугам 132 и 142 будут одинаковыми, т.е. по 3 единицы транспортных средств.

При этом расходы пользователей составят:

по дуге 132

Итого на каждую единицу транспортных средств;

по дуге 142

Итого на каждую единицу транспортных средств.

Общие расходы пользователей сети составят:

.

Теперь рассмотрим случай, когда в сеть добавляется дуга 34.

Точно так же рассмотрим решение по дескриптивному распределению потоков в сети (Рисунок 21).

 

 

Рисунок 21 – Парадокс Брайеса, случай б)

 

Определим расходы пользователей:

по дуге 132

Итого ;

по дуге 142

Итого ;

по дуге 1342

Итого .

Общие расходы пользователей составят:

.

Таким образом, добавление в сеть дуги 34 увеличивает общие расходы пользователей на 11% (552>498).

Запишем теперь для второго случая (при наличии дуги 34) задачу нормативного распределения и задачу дескриптивного распределения как оптимизационные задачи. Для удобства введем следующие обозначения (Рисунок 21): поток по дуге 142 ; поток по дуге 1342 ; поток по дуге 132 .

В рассматриваемом случае единственное ограничение на непрерывность потоков дает:

.

Кроме того, есть ограничение на неотрицательность потоков, то есть:

Тогда задача нормативного распределения потоков в сети принимает вид:

Это последнее выражение после раскрытия скобок принимает вид:

Отсюда видно, что целевая функция становится нелинейной, а записанные выше ограничения задачи являются линейными. Таким образом, в данном случае имеет место задача нелинейного программирования.

В случае дескриптивного распределения потоков на сети в рассматриваемом случае, получим следующее выражение для целевой функции задачи:

.

Ограничения в данном случае остаются прежними.

Вычислим записанные выше интегралы и в результате получим:

Из анализа записанных выше целевых функций и видно, что это две различные задачи. И их решения не всегда могут совпадать.

Для решение будет следующим:

для решение будет следующим:

Отсюда видно, что при нормативном распределении потоков в сети (так называемая общественная оптимизация) поток на дуге 34 отсутствует. И наоборот, при дескриптивном распределении по дуге 34 имеет место поток в 2т.е.



Дата добавления: 2022-07-20; просмотров: 108;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.013 сек.