Дескриптивное и нормативное распределение потоков в сети
Будем предполагать, что расходы общества, связанные с конкретной перевозкой, состоят из суммы всех расходов отдельных пользователей транспортной сети.
Предположим также, что имеется фиксированная матрица поездок, то есть известны все компоненты вектора потоков .
Кроме этого имеют место сетевые ограничения и соотношения для роста расходов пользователей сети с увеличением транспортного потока вида
.
Задача состоит в отыскании такого распределения потоков в сети, чтобы все едущие пассажиры минимизировали свои собственные расходы.
Это будет задача дескриптивного распределения потоков в сети.
Задача нормативного распределения потоков в сети имеет те же ограничения и формулируется как задача минимизации суммарных расходов пользователей путем выбора потоков из условия:
при .
Эту задачу минимизации можно поставить и как задачу равновесия в сети. Это возможно в том и только в том случае, когда функция выпуклая при всех сочетаниях , что выполняется при обычных предположенных относительно издержек на поездку по дуге. То есть, тогда, когда издержки возрастают с возрастанием пути вдоль дуги.
В заключении необходимо отметить, что общем случае результаты дескриптивного и нормативного распределений различны.
Дескриптивное и нормативное распределения потоков в сети дают один и тот же результат лишь в том случае, когда на расходы пользователя не влияют транспортные потоки и, следовательно, нет перегруженности сети.
Пример.
Поездка в часы «пик», когда, например, на автомагистрали имеют место автомобильные пробки.
Парадокс Брайеса
В 1968 году американский специалист по транспортной логистике Брайес опубликовал парадокс, возникающий при планировании перевозок.
Парадокс заключается в том, что добавление дуги к сети может повлечь за собой увеличение общих расходов для каждого пользователя.
Приведем пример парадокса Брайеса (Рисунок 20).
Рисунок 20 – Парадокс Брайеса:
а) исходная сеть; б) сеть с добавленной дугой 34
Заданы следующие соотношения по расходам пользователей:
Задан поток величиной в 6 единиц из пункта 1 в пункт 2. В случае а) дуга 34 отсутствует.
Рассмотрим решение по дескриптивному распределению. Оно будет состоять в том, что поток по дугам 132 и 142 будут одинаковыми, т.е. по 3 единицы транспортных средств.
При этом расходы пользователей составят:
по дуге 132 –
Итого на каждую единицу транспортных средств;
по дуге 142 –
Итого на каждую единицу транспортных средств.
Общие расходы пользователей сети составят:
.
Теперь рассмотрим случай, когда в сеть добавляется дуга 34.
Точно так же рассмотрим решение по дескриптивному распределению потоков в сети (Рисунок 21).
Рисунок 21 – Парадокс Брайеса, случай б)
Определим расходы пользователей:
по дуге 132 –
Итого ;
по дуге 142 –
Итого ;
по дуге 1342 –
Итого .
Общие расходы пользователей составят:
.
Таким образом, добавление в сеть дуги 34 увеличивает общие расходы пользователей на 11% (552>498).
Запишем теперь для второго случая (при наличии дуги 34) задачу нормативного распределения и задачу дескриптивного распределения как оптимизационные задачи. Для удобства введем следующие обозначения (Рисунок 21): поток по дуге 142 – ; поток по дуге 1342 – ; поток по дуге 132 – .
В рассматриваемом случае единственное ограничение на непрерывность потоков дает:
.
Кроме того, есть ограничение на неотрицательность потоков, то есть:
Тогда задача нормативного распределения потоков в сети принимает вид:
Это последнее выражение после раскрытия скобок принимает вид:
Отсюда видно, что целевая функция становится нелинейной, а записанные выше ограничения задачи являются линейными. Таким образом, в данном случае имеет место задача нелинейного программирования.
В случае дескриптивного распределения потоков на сети в рассматриваемом случае, получим следующее выражение для целевой функции задачи:
.
Ограничения в данном случае остаются прежними.
Вычислим записанные выше интегралы и в результате получим:
Из анализа записанных выше целевых функций и видно, что это две различные задачи. И их решения не всегда могут совпадать.
Для решение будет следующим:
для решение будет следующим:
Отсюда видно, что при нормативном распределении потоков в сети (так называемая общественная оптимизация) поток на дуге 34 отсутствует. И наоборот, при дескриптивном распределении по дуге 34 имеет место поток в 2т.е.
Дата добавления: 2022-07-20; просмотров: 108;