Бесконечно малые и их свойства

Определение. Функция называется бесконечно малой в точке = , если её предел в этой точке равен нулю, = 0. С помощью , это можно записать так: " > 0 $ > 0 ( Î O ( , ) Þ | | < ).

Теорема 1. Сумма конечного числа бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

Доказательство. Докажем теорему для двух слагаемых и . По условию теоремы

< , если < ,

< , если < .

Пусть = min ( , ), тогда < и < , если < . Т.к. неравенствa одинакового смысла можно cкладывать, то имеем + < Þ < , если < . Последняя запись означает, что = 0. Теорема доказана.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой в точке = функции на ограниченную в этой точке функцию есть функция бесконечно малая.

Доказательство. Запись $ > 0, M > 0 ( Î O ( , ) Þ < M) означает, что функция ограниченна в точке = . Запись " > 0 $ > 0 ( ÎO( , )Þ | |< ) означает, что – бесконечно малая в точке = . В наименьшей из двух окрестностей точки = будут выполняться оба неравенства < M и | | < . Перемножая неравенства, получим | × |< " ÎO( , ), = min( , ). Последняя запись означает , что произведение × есть бесконечно малая в точке = . Теорема доказана.

Теорема 3. Если — бесконечно малая в точке = и не обращается в нуль в некоторой окрестности этой точки, то = – бесконечно большая функция в этой точке. (Без доказательства).