Интегральное уравнение теплоотдачи для стабилизированного теплообмена

Рассмотрим приближенный метод определения коэффициентов теплоотдачи при гидродинамически и термически стабилизированном течении жидкости в прямой круглой трубе.

Будем полагать, что жидкость несжимаема, ее физические параметры постоянны, теплотой трения можно пренебречь, внутренние источники теплоты отсутствуют.

Уравнение энергии для осесимметричного стационарного потока можно записать следующим образом:

.

Уравнение записано в цилиндрических координатах, где –текущий радиус, – продольная координата, направленная по оси трубы в сторону движения жидкости.

Будем полагать, что перенос теплоты теплопроводностью в радиальном направлении много больше, чем в осевом. Тогда членом можно пренебречь. Кроме того, . Учтем, что в турбулентном потоке теплота переносится не только теплопроводностью, но и путем турбулентных пульсаций. Уравнение энергии при этом может быть записано в следующем виде:

,

где –коэффициент турбулентного переноса теплоты; и – осредненные во времени местные значения температуры и скорости турбулентного потока.

Назначим граничное условие . Как было показано в гл.6, при

.

Для круглой трубы

,

где – среднемассовая температура жидкости в данном сечении; – средняя скорость в этом же сечении; – радиус трубы.

В рассматриваемых условиях средняя температура жидкости будет линейной функцией . При по линейному закону изменяется не только , но и температура стенки:

.

При неизменных физических свойствах местная температура жидкости изменяется вдоль трубы также по линейному закону. Отсюда следует:

.

Подставляя выражение для в уравнение энергии, получаем:

или

,

где и – соответственно безразмерные скорость и радиус.

Разделяя переменные и интегрируя в пределах от до и от до , получаем:

.

Отсюда следует, что

. (a)

Среднемассовая температура жидкости при постоянных и определяется уравнением

.

Так как для круглой трубы и , то

.

Найдем этот интеграл по частям. Формула интегрирования по частям:

.

Обозначим

и или ,

тогда

. (б)

Интеграл может быть преобразован следующим образом:

.

Подставляя полученное значение интеграла в (б), получаем:

.

После подстановки сюда значения согласно уравнению (а) можно написать:

;

отсюда следует:

где –турбулентное число Прандтля.

Согласно определению

Используя последнее обозначение, можно написать следующее интегральное уравнение теплоотдачи для стабилизированного теплообмена:

(7.3)

Уравнение (7.3) было получено Лайоном. Оно пригодно как для турбулентного, так и для ламинарного течения. Если известно распределение скоростей , то с помощью уравнения (7.3) можно рассчитать коэффициенты теплоотдачи.

Для ламинарного течения =0 и уравнение (7.3) упрощается:

(8.3’)