ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ КООРДИНАТ ВЕКТОРА

ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ФОРМУЛОЙ

, (1)

ГДЕ УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ, ИМЕЮЩИМИ ОБЩЕЕ НАЧАЛО.

ИЗ ОПРЕДЕЛЕНИЯ (4.1) СЛЕДУЕТ, ЧТО ДЛЯ БАЗИСНЫХ ВЕКТОРОВ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РАВЕНСТВА

(2)

КРОМЕ ТОГО ИЗ ФОРМУЛ (1), (2) СЛЕДУЮТ СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

(3)

ТЕОРЕМА 1.ВЫЧИСЛЕНИЕ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ В КООРДИНАТАХ ДАЁТСЯ ФОРМУЛАМИ

В ПРОСТРАНСТВЕ (4)

НА ПЛОСКОСТИ (5)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ДОКАЖЕМ ФОРМУЛУ (4) ДЛЯ ПРОСТРАНСТВА. ФОРМУЛА (5) ДОКАЗЫВАЕТСЯ АНАЛОГИЧНО

ПУСТЬ , ТОГДА

С ПОМОЩЬЮ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ МОЖНО РЕШАТЬ ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ:

ВЫЧИСЛЯТЬ ДЛИНУ ВЕКТОРА

ИЗ ФОРМУЛЫ (1) СЛЕДУЕТ

(6)

2) ВЫЧИСЛЯТЬ ПРОЕКЦИЮ ВЕКТОРА НА НАПРАВЛЕНИЕ ЗАДАВАЕМОЕ ВЕКТОРОМ

ИЗ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОЕКЦИИ (ФОРМУЛА (3.9)) И СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ (4.1) ПОЛУЧАЕМ

(7)

УГОЛ -ЭТО УГОЛ МЕЖДУ НЕНУЛЕВЫМИ ВЕКТОРАМИ .

3) ВЫЧИСЛЯТЬ УГ0Л МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ И

(8)

ВЫЧИСЛЯТЬ РАБОТУ

ПОСТОЯННАЯ СИЛА ПРИЛОЖЕНА К ТЕЛУ И ПЕРЕМЕЩАЕТ ЕГО ВДОЛЬ ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ ОТ ТОЧКИ К ТОЧКЕ

.В ЭТОМ СЛУЧАЕ РАБОТА ВЫЧИСЛЯЕТСЯ ПО ФОРМУЛЕ:

(9)

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ КООРДИНАТ ВЕКТОРА

ТЕОРЕМА 2.КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА ЭТО ПРОЕКЦИИ ВЕКТОРА НА ОСИ ОХ, ОУ, ОZ СООТВЕТСТВЕННО

(10)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ПУСТЬ

АНАЛОГИЧНО ДОКАЗЫВАЮТСЯ, ЧТО КОРДИНАТЫ -это ПРОЕКЦИИ ВЕКТОРА НА ОСИ ОУ, ОZ .

ИЗ ТЕОРЕМЫ СЛЕДУЕТ, ЧТО:

1) КООРДИНАТЫ ЛЮБОГО ЕДИНИЧНОГО ВЕКТОРА ИМЕЮТ ВИД

(11)

называют направляющими косинусами вектора.

2) КООРДИНАТЫ ЛЮБОГО ВЕКТОРА ИМЕЮТ ВИД

(12)

ГДЕ и .

ПРАВИЛО 1. ВЕКТОРЫ И ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА