Проверка однородности совокупности дисперсий

Для каждого слоя вычисляется несмещенная оценка дисперсии, обозначим эти оценки через μ^*₂(x) , μ^*₂ (y), …, μ^*₂ (w) соответственно. Числа степеней свободы этих оценок

k₁ = п₁–1, k₂ = п₂ – 1, …, k_т = п_w–1.

Гипотеза Н₀ состоит в том, что выборки, по которым определены оценки дисперсии, получены из генеральных совокупностей, обладающих одинаковыми дисперсиями

μ₂(x)= μ₂(y)= … =μ₂(w)= μ₂,

при этом величина дисперсии μ₂ остается неизвестной. Следует выяснить, являются ли величины μ^*₂(x) , μ^*₂ (y), …, μ^*₂ (w) оценками одной и той же генеральной дисперсии μ₂.

Рассмотрим сначала случай, когда объем выборок по слоям хотя бы частично различается. В такой ситуации применяется критерий однородности Бартлетта. Проверка однородности реализуется в несколько шагов.

Вычисляется усредненная оценка несмещенной дисперсии по всем слоям

(6.4)

где μ^*₂(i) – несмещенная оценка дисперсии для слоя i.

Рассчитывается значение критерия

(6.5)

Бартлетт установил, что случайная величина В при условии справедливости нулевой гипотезы распределена приближенно как хи-квадрат с т–1 степенями свободы, если все n_i больше трех. По заданному уровню значимости a, числу степеней свободы т–1 для правосторонней критической области определяется критическое значение с²_кр(m-1;a). Если соблюдается условие

B< с²_кр(m-1;a),

то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если B > с²_кр(m-1;a), то нулевая гипотеза отвергается. Критерий Бартлетта чувствителен к отклонениям распределения от нормального, поэтому к результатам сравнения следует относится осторожно, а при одинаковом объеме всех слоев вместо критерия Бартлетта лучше применять критерий Кочрена (Кохрена).

Итак, если k₁ = k₂ = … = k_т, то применяется критерий Кочрена

(6.6)

где μ_{2, max} – максимальная оценка дисперсии по всем слоям.

Критическая область для критерия Кочрена правосторонняя. Критическую точку G_кр(k₁,m;a) находят по таблице распределения Кочрена, фрагмент которой приведен в табл. Критическая область определяется неравенством G > G_кр(k₁,m;a) .