ОБЩИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ


 

Метод позволяет по имеющейся случайной выборке построить функцию u(Θ, Θ*), распределенную асимптотически нормально с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. В основе метода лежат следующие положения. Пусть:

f(х, Θ*) – плотность распределения случайной величины Х;

ln [L(x, Θ*)] – логарифм функции правдоподобия;

;

σ2 =М(Y)2 – дисперсия Y.

Если математическое ожидание М(у)=0 и дисперсия Y конечна, то распределение случайной величины

асимптотически нормально с параметрами 0 и 1 при n→∞.

Пример 4.1. Построить доверительный интервал с надежностью g =1– a для оценки m*x математического ожидания mx случайной величины Х, имеющей экспоненциальное распределение с функцией плотности

f(x, λ) = λехр(–λ х).

Решение. Известно, что для экспоненциального закона распределения математическое ожидание m1= 1/ λ, а дисперсия m2= 1/ λ 2. Обозначим через l оценку параметра λ. Определим оценку математического ожидания m*x, вспомогательную переменную у, производную от логарифма функции прачвдоподобия:

 

Оценка m*x параметра mx является состоятельной и несмещенной, следовательно:

М[у]=М[l–1 – х) = 0

и значение σ2 = М(l–1 – х)2 =l–2 конечно.

Тогда случайная величина

 

распределена нормально с параметрами 0 и 1.

Нормальное распределение симметрично, поэтому границы интервала следует выбрать симметрично относительно нулевой точки. Вероятность g= =1–a того, что модуль величины w не превысит некоторого заданного значения d, составит

где Ф(d) – значение функции нормального распределения в точке d.

Величина d равна квантили u1–a/2 стандартного нормального распределения уровня 1– a/2. Значение абсолютной погрешности оценивания

ε = | mx – m*x| =d /(ln0,5) = u1– a/2 /(ln0,5).

Итак, имея достаточный объем выборки ЭД и задаваясь определенным уровнем надежности g можно определить доверительный интервал

θ0 = m*x – ε, θ1 = m*x + ε,

который с заданной вероятностью содержит неизвестный параметр mx.

Аналогичные результаты для некоторых параметров распределения можно получить, используя более простые рассуждения.

 

 



Дата добавления: 2022-02-05; просмотров: 293;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.007 сек.