Тема 8 Модели стационарных и нестационарных временных рядов

Важное значение в анализе и прогнозировании на основе временных рядов имеют стационарные временные ряды, вероятностные свойства которых не изменяются во времени. Временной ряд называется строго стационарным, если совместное распределение вероятностей n наблюдений такое же, как у n наблюдений (при любых n, t, и τ). Свойства строго стационарных рядов не зависят от момента времени t.

Степень тесноты связи между последовательностями наблюдений временного ряда и обычно определяют с помощью выборочного коэффициента корреляции r(τ). Его формула приведена ниже:

Этот коэффициент оценивает корреляцию между уровнями одного и того же ряда, поэтому иногда его называют коэффициентом автокорреляции.

Функция r(τ) называется выборочной автокорреляционной функцией, а ее график – коррелограммой.

При исследовании стационарных временных рядов рассматривают также частную автокорреляционную функцию. Статистической оценкой частного коэффициента корреляции является выборочный частный коэффициент корреляции.

где r_ij,r_ik,r_jk- выборочные коэффициенты корреляции.

Выборочный частный коэффициент автокорреляции 1-го порядка между членами временного ряда y_t, и у_t+2 при устранении влияния y_t+1 определяется по формуле:

Где r(1),r(1,2),r(2) – выборочные коэффициенты автокорреляции между y_t и y_t+1; y_t+1 и y_t+2; y_t и y_t+2 соответственно.

Наиболее распространенным приемом устранения автокорреляции во временных ядах является подбор соответствующей модели: авторегрессионной АР(р), скользящей средней СС(q) или авторегрессионной модели скользящей средней АРСС(р,q) для остатков модели (в литературе можно встретить англоязычные названия моделей: авторегрессионной АR(p), скользящей средней – МА(q) и авторегрессионной модели скользящей средней ARMA (p,q)).

Идентификацией временного ряда называется построение для ряда остатков адекватной АРСС – модели в которой остатки представляют собой белый шум, а все регрессоры значимы. Такое представление, как правило, не единственное, и один и тот же ряд может быть идентифицирован и с помощью АР – модели, и с помощью СС-модели.

Авторегрессионная модель порядка р (модель АР(р)) имеет вид:

Где β₀,β_i,…,β_p – некоторые константы.

Если исследуемый процесс y_t в момент t определяется его значениями только в предыдущий период t-1, то получаем авторегрессионную модель 1-го порядка (или модель АР(1)).

Наряду с авторегрессионными моделями временных рядов в эконометрике рассматриваются также модели скользящей средней. В них моделируемая величина задается линейной функцией от возмущений (остатков) в предыдущие моменты времени. Модель скользящей средней порядка q (модель СС(q)) имеет вид:

Нередко используются и комбинированные модели временных рядов АР и СС, которые имеют вид:

Если все значения выборочной частотной автокорреляционной функции порядка выше р незначимо отличаются от нуля, временной ряд следует идентифицировать с помощью модели, порядок авторегрессии которой не выше р.

Если все значения выборочной автокорреляционной функции порядка выше q незначимо отличаются от нуля, временной ряд следует идентифицировать с помощью модели скользящей средней, порядок которой не выше q.

Нестационарные временные ряды.

Пусть имеется временной ряд

Предположим, что ошибки ξ₁ независимы и одинаково распределены, т.е. образуются белый шум. Перейдем к разностным величинам:

Где

Если ряд является стационарным, то исходный нестационарный ряд y_t называется интегрируемым (или однородным).

Нестационарный ряд у_t, называется интегрируемым (однородным) к-го порядка, если после К-кратного перехода к приращениям

где d¹y_t, = Δy_t, получается стационарный ряд d^ky_t,.

Если при этом стационарный ряд d^ky_t, корректно идентифицируется как APCC(p,q), то нестационарный ряд у_t, обозначается как APПCC(p,k,q). Это означает модель авторегрессии - проинтегрированной скользящей средней (другое обозначение - ARIMA(p,k,q)) порядков, p, k, q, которая известна как модель Бокса-Дженкинса. Процедура подбора такой модели реализована во многих эконометрических пакетах.

Адаптивные модели прогнозирования - это модели дисконтирования данных, способные приспосабливать свою структуру и параметры к изменению условий.

При оценке параметров адаптивных моделей наблюдениям (уровням ряда) присваиваются различные веса в зависимости от того, насколько сильным признается их влияние на текущий уровень. Это позволяет учитывать изменения в тенденции, а также любые колебания, в которых прослеживается закономерность.

Адаптивные методы прогнозирования представляют собой подбор и адаптацию на основании вновь поступившей информации моделей прогнозирования.

Метод экспоненциального сглаживания. Особенность его состоит в том, что в процедуре выравнивания каждого наблюдения используются только значения предыдущих уровней ряда динамики, взятых с определенным весом. Вес каждого наблюдения уменьшается по мере его удаления от момента, для которого определяется сглаженное значение. Сглаженное значение уровня ряда S_t на момент t определяется по формуле:

где S_t – значение экспоненциальной средней в момент t;

S_t-1 – значение экспоненциальной средней в момент (t-1);

Y_t – значение экономического процесса в момент времени t;

- вес t – го значения ряда динамики (или параметр сглаживания ).

Последовательное применение формулы ( ) позволяет вычислить экспоненциальную среднюю через значения всех уровней данного ряда динамики. Кроме того, на основе формулы ( ) определяются экспоненциальные средние первого порядка, то есть средние полученные непосредственно при сглаживании исходных данных ряда динамики. В тех случаях, когда тенденция после сглаживания исходного ряда определена недостаточно ясно, процедуру сглаживания повторяют, то есть вычисляют экспоненциальные средние 2-го, 3-го и т.д. порядков, пользуясь выражениями ( ):

, где

- экспоненциальная средняя k-го порядка в точке t (k=1, 2, 3 …….n).

Основными трудностями применения метода являются нахождения параметра сглаживания (коэффициента дисконтирования) и начального условия у₀. От численного значения зависит, насколько быстро будет уменьшаться вес предшествующих наблюдений и в соответствии с этим степень их влияния на сглаживаемый уровень.

Автор метода экспоненциального сглаживания английский ученый Р.Г. Браун предложил следующую формулу расчета параметра сглаживания:

, где m - число уровней, входящих в интервал сглаживания.

В качестве удовлетворительного практического компромисса рекомендуются значения в пределах от 0,1 до 0,3.

Для линейной модели y_t=a₀+a₁t:

- начальные условия ;

- экспоненциальные средние первого и второго порядка

Прогноз осуществляется по формуле y_t^*=a₀+a₁t, где a₀=2S_t^[1]-S_t^[2];

Ошибка прогноза определяется по формуле:

, где

- средняя квадратическая ошибка отклонения от линейного тренда; (n-m) число степеней свободы, определяемое в зависимости от числа членов ряда (n) и числа оцениваемых параметров выравнивающей кривой (m).

Метод гармонических весов. Этот метод был разработан польским статистиком З.Хелвигом. Он близок к методу простого экспоненциального сглаживания, использует тот же принцип. В его основе лежит взвешивание скользящего показателя, но вместо скользящей средней используется идея скользящего тренда. Экстраполяция проводится по скользящему тренду, отдельные тоски ломаной линии взвешиваются с помощью гармонических весов, что позволяет более поздним наблюдениям придавать больший вес.

Метод гармонических весов базируется на следующих предпосылках:

- период времени, за который изучается экономический процесс, должен быть достаточно длительным, чтобы можно было определить его закономерности;

- исходный ряд динамики не должен иметь скачкообразных изменений;

- социально-экономическое явление должно обладать инерционностью, т.е. для наступления большого изменения в характеристиках процесса необходимо, чтобы прошло значительное время;

- отклонения от скользящего тренда имею случайный характер;

- автоокрреляционная функция, рассчитанная на основе последовательных разностей, должна уменьшаться с ростом t, т.е. влияние более поздней информации должно сильнее отражаться на прогнозируемой величине, чем на ранней информации. Для получения точного прогноза метод гармонических весов необходимо выполнение всех вышеуказанных предпосылок для исходного ряда динамики.

Для осуществления прогноза данным методом исходный ряд разбивается на фазы k. Число фаз должно быть меньше числа членов ряда n, то есть k<n. Обычно фаза равна 3-5 уровням. Для каждой фазы рассчитывается линейный тренд, то есть

(i=1,2,…..,n-k+1)

При этом

для i=1, t=1,2, …., k

для i=2, t=2,3,….., k+1;

для i= n-k+1, t= n-k+1, n-k+2, …, n.

Для оценки параметров yfb,jktt xfcnj используется метод наименьших квадратов.

С помощью полученных (n-k+1) уравнений определяются значения скользящего тренда. С этой целью выделяются те значения y_i(t), для которых t=i, их обозначают y_j(t). Пусть их будет n_j.

Затем находится среднее значение по формуле

, где j=1,2, …, n_j.

После этого необходимо проверить гипотезу о том, что отклонения от скользящего тренда представляют собой стационарный процесс. С этой целью рассчитывается автокорреляционная функция. Если значения автокорреляционной функции уменьшаются от периода к периоду, то пятая предпосылка данного метода выполняется.

Далее рассчитываются приросты по формуле

Средняя приростов вычисляется по формуле

,

где Сⁿ_t+1 – гармонические коэффициенты, удовлетворяющие следующим условиям:

Сⁿ_t+1>0 (t=1,2,….,n-1),

Данное выражение позволяет более поздней информации придавать большие веса, так как приросты обратно пропорциональны времени, которое отделяет раннюю информацию от поздней для момента t=n.

Если самая ранняя информация имеет вес , то вес информации, относящейся к следующему моменту времени, равен:

.

В общем виде ряд гармонических весов определяют по формуле:

(t=2,3,……,n-1),

или

отсюда

Чтобы получить гармонические коэффициенты Сⁿ_t+1, удовлетворяющие условиям Сⁿ_t+1>0 (t=1,2,….,n-1), , нужно гармонические веса m_t+1 разделить на (n-1) формула ( )

Далее прогнозирование производится так же, как и при простых методах прогноза, путем прибавления к последнему значению ряда динамики среднего прироста, то есть

при начальном условии .

Данный метод прогнозирования применяется, когда есть уверенность, что тенденция в будущем описывается плавной кривой, то есть в ряду отсутствуют сезонные и циклические колебания.