Умножение в дополнительных кодах

Умножение чисел в дополнительных кодах может выполняться по любому из рассмотренных выше четырех алгоритмов, но отличается тем, что для получения верного результата необходимо вводить поправки. Умножение правильных дробей и целых чисел имеет некоторые различия.

Рассмотрим вначале умножение дробных чисел. Возможны четыре случая знакосочетания сомножителей.

1) Мн>0,

Мт>0.

В этом случае дополнительный код сомножителей совпадает с прямым кодом и умножение выполняется по правилам умножения в прямых кодах, в результате чего получается верный результат.

2) Мн>0,

Мт<0.

Так как Мн и Мт имеют разные знаки, то результат будет иметь отрицательный знак. Следовательно, результат должен быть представлен в дополнительном коде [Мн∙Мт]_доп=2-Мн∙Мт. Для формирования произведения выполним умножение Мн на Мт¢ (дополнение):

Мн∙Мт¢= Мн ∙(1 - Мт)= Мн - Мн∙Мт.

Таким образом, погрешность Δ умножения равна разности [Мн∙Мт]_доп. и Мт∙Мн¢

Δ=2-Мн∙Мт- Мн + Мн∙Мт=2-Мн=[-Мн]_доп=[ [Мн]_доп]_доп

и должна быть внесена в полученный результат в качестве поправки.

Пример: Мн = 0,1011 (алгоритм умножения А)

Мт = - 0,1101

Δ= [- Мн]_доп = 1,0101

[- Мт]_доп = 1,0011

0,0000

⁺ 0,1011 = Мн b₄

0,1011

0,0101 1 ∙ 2^-1

⁺ 0,1011 = Мн b₃

1,0000 1 (произошло переполнение)

0,1000 01 ∙ 2^-1 (коррекция)

0,010 0001 ∙ 2^-1 ( ∙ 2^-1) ∙ 2^-1

0,0010 0001 ∙ 2^-1 (( ∙ 2^-1 )∙ 2^-1)∙ 2^-1

⁺ 1,0101 Δ = [- Мн]_доп (поправка)

1,0111 0001 =[Mн ∙ M_т]_доп

- 0,1000 1111 Mн ∙ Mт

В этом примере, а также в некоторых примерах, следующих ниже, происходит переполнение разрядной сетки, в результате которого искажаются и знаковая и значащая часть числа. Для коррекции (восстановления верного значения) производится немодифицированный сдвиг. В результате этого знаковый разряд сдвигается в значащую часть, а знаковый разряд меняет свое значение на противоположное.

3) Mн<0,

Mт>0.

Аналогично предыдущему случаю

[Мн∙Мт]_доп=2-Мн∙Мт,

Мн¢∙Мт= (1 - Мн)∙Мт= Мт - Мн∙Мт.

Таким образом, погрешность умножения равна разности [Мн Мт]_доп и Мт∙Мн¢.

Δ=2-Мн∙Мт- Мт + Мн∙Мт=2-Мт=[-Мт]_доп=[ [Мт]_доп]_доп.

Использовать этот вариант неудобно, так как нужно вводить поправку [-Mт]_доп в конце умножения, а в результате сдвигов Мт постепенно исчезает на регистре множителя и для поправки нужно либо вводить дополнительный регистр, либо вносить поправку в сумматор на первом такте умножения.

При этом знакосочетании возможно умножение без ввода поправки. Рассмотрим этот вариант на примере умножения по алгоритму Г (это справедливо и для других алгоритмов).

Мн∙Мт = А ∙ В = [ A ∙ b₁∙ 2^-1 ]_доп + [ A ∙ b₂∙ 2^-2 ]_доп+ ... + [A∙ b_n∙ 2^-n ]_доп .

На основании теоремы, доказывающей что сумма дополнительных кодов есть дополнительный код суммы, получаем

[ A ∙ b₁∙ 2^-1 + A ∙ b₂∙ 2^-2 + ... + A∙ b_n∙ 2^-n ]_доп = [Мн ∙Мт]_доп.

В этом случае поправка вводится автоматически на каждом этапе умножения.

Пример: Mн = -0,1011

Mт = 0,1101

b1…b4 4

[Mн]_доп= 1,0101

0,00000000

⁺ 1,10101000 = [Mн ∙ b₁ ∙ 2^-1]_доп

1,10101000

⁺ 1,11010100 = [Mн ∙ b₂ ∙ 2^-2]_доп

1,01111100

⁺ 1,11110101 = [Mн ∙ b₄ ∙ 2^-4]_доп

1,01110001 [Mн ∙ Mт]_доп

-0,10001111 Mн ∙ Mт

4) Mн<0,

Mт<0.

Mн ∙ Mт = 2 - [Mн ∙ Mт]_доп

[Mн]_доп ∙ (1 - Mт) = [Mн]_доп - [Mн]_доп ∙ Mт = [Mн]_доп - [Mн ∙ Mт]_доп

Δ=2 - [Mн ∙ Mт]_gдоп - [Mн]_доп + [Mн ∙ Mт]_доп = 2 - [Mн]_доп = [[Mн]_доп]_доп

Пример: Mн = - 0,1011 умножение будем выполнять

Mт = - 0,1101 по алгоритму умножения Г

[Mн]_доп = 1,0101

[Mт]_доп = 1,0011

Δ =[-Mн]_доп = 0,1011

0,00000000

⁺ 1,11101010 = [Mн ∙ b₃ ∙ 2^-3]_доп

1,11101010

⁺ 1,11110101 = [Mн ∙ b₄ ∙ 2^-4]_доп

1,11011111

⁺ 0,10110000 Δ (поправка)

0,10001111 [Mн∙ Mт]_доп

Далее коротко остановимся на умножении целых чисел. При представлении целых чисел в дополнительном коде знаковый разряд входит в число n разрядов. Следовательно, при умножении целых чисел (в отличие от дробных) в дополнительных кодах знаковый разряд участвует в умножении наряду со значащими. То есть умножение ведется на [Mт]_доп , а не на Мт¢.

1) Mн > 0,

Mт > 0.

Как отмечалось выше, в этом случае умножение выполняется по правилам умножения чисел в прямых кодах.

2) Мн>0,

Mт<0,

[Мт]_доп = 2ⁿ – Мт.

Так как сомножители имеют разные знаки, то произведение Мн∙Мт<0, сле­довательно, [Mн∙Мт]_доп=2²ⁿ - Mн∙Мт. Однако при умножении Мн∙[Мт]_доп получается Mн ∙(2ⁿ-Mт) =2ⁿ Mн - Mн∙Мт. Следовательно, погрешность в этом случае равна Δ = 2²ⁿ–Mн∙Мт–2ⁿ Mн+Mн∙Мт = 2²ⁿ–2ⁿ Mн = [–Мн]_доп∙2²ⁿ = [ [Мн]_доп]_доп∙2²ⁿ.

Пример: Mн = +110

Mт = -101

[Mн]_доп = 0.110

[Mт]_доп = 1.011

= [- Mн]_доп = 1.010

0.000

⁺ 0.110 = Mн∙b₄

0.110

0.011 0 ∙2^-1

⁺ 0.110 = Mн∙b₃

1.001 0 (возникло переполнение)

0.100 10 ∙2^-1 (коррекция)

0.010 010 ∙2^-1

⁺ 0.110 = Mн∙b₁

1.000 010 (возникло переполнение)

0.100 0010 ∙2^-1 (коррекция)

⁺ 1.010 (поправка)

1.110 0010 [Mн×Mт]_доп

- 001 1110 Mн×Mт

3) Мн<0,

Мт>0.

Здесь, как и при умножении дробных чисел, возможны два случая:

a) с вводом поправки в получаемое произведение

[Мн]_доп = 2ⁿ – Mн.

Как и ранее, требуется получить [Мн∙Мт]_доп= 2²ⁿ - Мн∙Мт. Получаем

(2ⁿ - Мн) ∙ Мт = 2ⁿ ∙ Мт - Мн∙Мт.

= 2²ⁿ - Мн∙Мт - 2ⁿ ∙ Мт + Мн∙Мт = 2ⁿ(2ⁿ - Мт) = [-Мт]_доп ∙ 2ⁿ ;

б) вариант без ввода поправки рассмотрим применительно к алгоритму умножения Г (как и ранее это справедливо и для других алгоритмов):

Mн∙Mт = A∙B = [A ∙ b₁ ∙ 2^-1 ]_доп + [A ∙ b₂ ∙ 2 ^-2]_доп+^- ... + [A ∙ b_n ∙ 2^-n]_доп=

=[A ∙ b₁ ∙ 2^-1 + A ∙ b₂ ∙ 2 ^–2 +^- ... + A ∙ b_n ∙ 2^-n]_доп=[Мн∙Мт]_доп.

Пример: Мн = -110 Мт = 101 [Мн]_доп = 1.010

[Мт]_доп = 0.101

b₁ ... b₄

0.0000000

⁺ 0.0000000 = [M_H ∙ b₁]_доп ∙ 2^-1

0.0000000

⁺ 1.1101000 = [M_H ∙ b₂]_доп ∙ 2^-2

1.1101000

⁺ 1.1111010 = [M_H ∙ b₄]_доп ∙ 2^-4

1.1100010

4) Mн < 0

Mт < 0

При этом сочетании знаков сомножителей в результате должно быть получено:

[Mн]_доп = 2ⁿ – Mн,

[Mт]_доп = 2ⁿ – Mт,

Mн ∙Mт = 2²ⁿ - [Mн Mт]_доп.

При умножении [Mн]_доп∙[Mн]_доп получается:

[Mн]_доп∙[Mн]_д =[Mн]_доп ( 2ⁿ - Mт ) = 2ⁿ [Mн]_доп -

Пример: Мн = -110

Mт = -101

[Mн]_доп = 1.010

[Mт]_доп = 1. 011

b₁ ... b₄

= [[Mн]_доп]_доп= 0.110

При умножении используем алгоритм Г.

0.0000000

1.1010000 = [Mн∙b₁]_доп∙2^-1

1.1010000

1.1110100 = [Mн∙b₃] _доп∙2^-3

1.1000100

1.1111010 = [Mн∙b₄] _доп∙2^-4

1.0111110

0.110 (поправка)

0.0011110 Mн Mт