Главные площадки и главные напряжения. Классификация напряженных состояний

<123 4 5 6 7 >

Совокупность нормальных и касательных напряжений, действующих на различных площадках, проходящих через заданную точку, называется напряженным состоянием в этой точке.

В окрестности любой точки можно провести три взаимно перпендикулярные площадки, на которых касательные напряжения будут отсутствовать. Такие площадки называются главными. Нормальные напряжения на главных площадках принимают экстремальные значения, называются главными напряжениями и обозначаются: σ₁, σ₂, σ₃. Здесь σ₁ – наибольшее (в алгебраическом смысле) главное напряжение, σ₃ – наименьшее, а σ₂ – промежуточное, т.е. σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃.

На рисунке показаны три взаимно перпендикулярные произвольные площадки, на гранях которых действуют нормальные и касательные напряжения. Нормальные напряжения показаны растягивающими, т.е. положительными. Касательные напряжения (на каждой грани по два) показаны с двумя индексами: первый индекс указывает параллельно какой оси координат действует, а второй – на грани с какой нормалью. В общем случае напряженное состояние в точке описывается тензором напряжений

В зависимости от наличия отличных от нуля главных напряжений на главных площадках различают три вида напряженных состояний:

1. Если все три главных напряжения отличны от нуля, то имеет место в данной точке объемное или пространственное напряженное состояние.

2. В том случае, когда два главных напряжения отличны от нуля, а одно равно нулю – имеет место плоское напряженное состояние.

3. Если только одно главное напряжение отлично от нуля, а два других равны нулю, имеет место одноосное (линейное) напряженное состояние.

Наиболее простым и наглядным случаем одноосного (линейного) напряженного состояния является центральное растяжение–сжатие стержней.

Тема 2.Растяжение и сжатие.

Лекция 2

2.1. Деформация растяжения (сжатие)

Центральным растяжением (или сжатием) называется такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях бруса возникает отличный от нуля только один внутренний силовой фактор – продольная сила, а все остальные внутренние силовые факторы равны нулю. Это бывает в случаях, когда линия действия равнодействующей внешних сил совпадает с продольной осью стержня.

Правило знаков: растягивающие продольные силы принято считать положительными, а сжимающие – отрицательными.

Для определения величины продольной силы N используется метод сечений. При этом полученное в результате положительное значение N соответствует растягивающей продольной силе, а отрицательное – сжимающей.

На эпюрах проставляют значения найденных продольных сил, их знак и наносят штриховку перпендикулярно оси бруса.

Из анализа эпюры N вытекает следующее правило ее проверки: в поперечных сечениях бруса, в которых приложены внешние активные (F) или реактивные (R) силы, на эпюре продольных сил возникают скачки, равные по величине этим нагрузкам.

При использовании приведенного выше метода сечений необходимо иметь ввиду: если рассматривается равновесие части бруса, включающей в себя опорные связи, необходимо предварительно определить реакции опор, так как они относятся к разряду внешних сил.

Внешними признаками границ грузовых участков являются: места приложения внешних сосредоточенных усилий, места начала или окончания действия распределенной нагрузки, места изменения интенсивности распределенной нагрузки, в случае учета собственного веса бруса – места резкого изменения площади поперечного сечения.

Для определения нормальных напряжений пользуются гипотезой плоских сечений Бернулли: сечения плоские и нормальные к продольной оси бруса до деформации, остаются плоскими и нормальными к этой оси и после деформации.

Продольная сила N равномерно распределена по сечению, вызывая нормальные напряжения

где А - площадь поперечного сечения бруса.

Продольные и поперечные деформации. Коэффициент Пуассона.

Под действием силы F брус длиной удлиняется на величину , которую называют полным или абсолютным удлинением (при сжатии – укорочением) (рис.2.1).

Рис. 2.1

Из рисунка 2.1:

[м].

При растяжении >0, при сжатии < 0.

Так как согласно гипотезе плоских сечений Бернулли по всей длине в любой точке поперечного сечения бруса возникают одинаковые удлинения то и линейные деформации будут одинаковы и равны

При растяжении (или сжатии) бруса меняются и его поперечные размеры. Из рис.2.1 абсолютное сужение бруса:

[м].

Относительная поперечная деформация:

В пределах применимости закона Гука при растяжении (сжатии) поперечная деформация прямо пропорциональна продольной деформации , но имеет обратный знак:

Коэффициент называется коэффициентом Пуассона.

В 1660 г. Р. Гук вывел закон, который в настоящее время формулируется так: деформация прямо пропорциональна вызвавшему ее напряжению, т.е.

или ; .

Величину Е называют модулем продольной упругости (модулем Юнга). Это физическая величина постоянная материала, характеризующая его упругость.

2.2 Определение абсолютной деформации участка бруса.

Если связать между собой и , то получим выражения:

Отсюда формула для определения абсолютного удлинения (или укорочения) участка стержня длиной :

В формуле произведение называется жесткостью бруса при растяжении или сжатии.

2.3 Условие прочности. Подбор сечений.

Расчет на прочность бруса на растяжение и сжатие выполняется по опасной точке, т.е. нарушением прочности конструкции считают возникновение хотя бы в одной точке предельных напряжений , при которых в пластичном материале возникают заметные остаточные деформации, а в хрупком материале – первые признаки разрушения. Для пластичного материала при статическом нагружении принимают (предел текучести), а для хрупкого - (предел прочности).

Для того чтобы конструкция была прочной, наибольшее расчетное значение в ней не должно превышать предельного

Это выражение иногда называют физическим условием прочности. Для надежной работы конструкция должна обладать определенным запасом надежности, запасом прочности, т.к. фактические нагрузки и свойства материала реально могут существенно отличаться от принятых для расчета. Для обеспечения надежности конструкции вводят коэффициент запаса прочности, равный отношению предельного напряжения к расчетному напряжению.

Расчетный запас прочности должен быть не ниже допускаемого, условие прочности имеет вид

Или

Это выражение называют: условием прочности по нормальным напряжениям.

2.4 Расчет на прочность при растяжении (сжатии).

Условие прочности по нормальным напряжениям также записывают в виде:

Это выражение называют условием прочности на растяжение и сжатие.

Условие прочности должно быть составлено для опасного сечения. Если оно для этого сечения выполняется, то тем более будет выполнятся для всех остальных сечений.

Опасное сечение – сечение, в котором напряжения наиболее близки к предельным, т.е. принимают наибольшие значения - .

Пользуясь данным условием, можно решать следующие задачи:

1. Проверочный расчет: определяют по заданным нагрузкам и размерам поперечного сечения расчетные напряжения и сравнивают их с допускаемыми . При этом фактические напряжения не должны отклоняться от допускаемого более чем на 5%, т.е.

2. Проектировочный расчет: по известным нагрузке и допускаемому напряжению определяют размеры поперечного сечения бруса по формуле

3. Определение допускаемой нагрузки по известным размерам поперечного сечения бруса и допускаемому напряжению находят

После определения внутренней продольной силы N устанавливают методом сечений ее связь с внешней нагрузкой, т.е. определяют ее допускаемое значение.

Лекция 3

3.1. Опытное изучение механических свойств материала

Расчет на прочность любой конструкции возможен лишь тогда, когда известны механические свойства материала. Эти свойства определяются в процессе испытаний материалов, проводимых по стандартным методикам.

Наиболее распространенным и доступным является испытание материалов на растяжение (сжатие). Полученные при этом данные позволяют также судить и о поведении материала при других деформациях – сдвиге, кручении, изгибе.

Испытаниям подвергается образец круглого или прямоугольного сечения стандартных размеров. Испытания проводятся на специальных разрывных машинах, оснащенных приборами для измерения деформации и усилия растяжения. Один из видов стандартного образца с круглым поперечным сечением показан на рис.3.1.

Рис. 3.1

Поведение материала в процессе его деформации наглядно иллюстрируется диаграммой растяжения, представляющей зависимость между нагрузкой и деформацией при растяжении. Исходная диаграмма получается в координатах « сила растяжения F – абсолютное удлинение l».

Исходная диаграмма для придания ей свойств общности перестраивается в координатах «напряжение - относительная деформация », причем напряжение вычисляется по первоначальной площади образца, без учета её изменения в процессе растяжения:

Форма диаграммы зависит прежде всего от свойств материала – пластичности или хрупкости. На рис 3.2,а показана диаграмма, характерная для материала с выраженными свойствами пластичности.

Как видно из диаграммы, на первом участке ОА деформация растет пропорционально напряжениям, что является проявлением свойства упругости материала в соответствии с законом Гука.

Свойства упругости продолжают наблюдаться вплоть до точки В диаграммы. Точкам А и В диаграммы соответствуют напряжения предела пропорциональности и предела упругости .

Если в границах прямолинейного участка ОА взять некоторую точку N , которой соответствуют напряжение и относительная деформация , то тангенс наклона этой прямой ОА будет равен

где Е является величиной модуля упругости первого рода. Таким образом диаграмма растяжения позволяет опытным путем определять значение модуля упругости Е.

Cледующим участком на диаграмме между точками С и D является площадка текучести, характеризуемая напряжением . Напряжение называется пределом текучести . Как видно, деформация здесь увеличивается без заметного роста нагрузки. Это явление связано с проявлением свойства пластичности, состоящего в сдвиге частиц материала по граням кристаллических решеток.

Далее, как это видно из диаграммы, процесс удлинения при постоянной нагрузке через некоторое время приостанавливается и материал вновь обретает способность сопротивляться возрастающей нагрузке, хотя и менее интенсивно, чем на участке ОА.

Участок DE диаграммы называют участком упрочнения, а верхнюю точку диаграммы Е , которой соответствует напряжение – пределом прочности или временным сопротивлением. Точка G соответствует разрушению испытуемого образца материала.

M

G

D

Е

O

К

O

N

C

B

A

(а) (б)

Рис.2.2

Условная диаграмма растяжения (диаграмма условных напряжений). Следует особо отметить, что при испытании нескольких пропорциональных образцов из одного и того материала получают серию диаграмм растяжения, каждая из которых характеризует свойства не материала, а каждого отдельного образца (рис. 3.3). Для того, чтобы можно было сравнить результаты испытаний, диаграммы растяжения перестраивают в другой системе координат: напряжение – относительные удлинения, т.е. ( ), где - первоначальная площадь поперечного сечения образца, - первоначальная (расчетная) длина образца, соответственно. Такую диаграмму называют условной диаграммой растяжения (диаграммой условных напряжений). Условность ее заключается в том, что при растяжении площадь поперечного сечения образца постоянно уменьшается, и особенно значительно в момент его разрыва (для пластичных материалов – до 50%). Таким же образом изменяются и удлинения. Поэтому говорить о истинности напряжений в этом случае нельзя.

Явление повышения предела пропорциональности материала и уменьшения его остаточной деформации при разрыве (и повышение его хрупкости) называют наклепом.

Явление наклепа можно усилить, если наклепанный образец нагрузить повторно лишь через достаточно большое время. В этом случае повысятся не только , , но и . Такой прием называют естественным старением материала. Старение можно ускорить термической обработкой материала (искусственное старение).

Явление наклепа как положительное часто используют в технике. Например, чтобы уменьшить провисание проводов, их предварительно вытягивают, создавая . В случаях, когда наклеп нежелателен, т.к. он повышает хрупкость материала, его можно устранить отжигом детали в печи.

Разрыв образца из хрупкого материала происходит при незначительных удлинениях без образования шейки (рис. 3.5,в). Хрупкое разрушение происходит по сечению, в котором возникают наибольшие нормальные напряжения, при этом остаточное удлинение при разрыве не превышает = 0,015%. Закон Гука уже при малых напряжениях не выполняется.

Рис. 2.3

Рис. 2.4.

Однако при практических расчетах в пределах рабочих напряжений криволинейную часть диаграммы заменяют хордой

и считают модуль упругости

постоянным, а материал – следующим закону Гука (рис. 2.4). При этом получают в качестве характеристики прочности предел текучести

. Теоретический предел прочности, вычисленный на основе учета межатомного взаимодействия, составляет

, т.е. для стали 20 ГПа = 20·10⁹ Па. К теоретической прочности можно приблизится двумя путями:

а) создать материалы, свободные от внутренних дефектов кристаллических решеток – дислокаций, по которым и происходит разрушение. Получены уже нитевидные кристаллы длиной 3 ÷ 4 мм («усы») железа с пределом прочности =15·10⁹ Па.

б) создать в материале, как это ни парадоксально, возможно больше нарушений в кристаллической решетке путем сочетания пластической деформации (наклепа) с термообработкой или путем нейтронного облучения. При этом из кристаллической решетки выбиваются атомы, т.е. создаются вакансии, или атомы без места – внедренные атомы. Это приводит к затруднению сдвиговых деформаций, а в итоге к повышению предела прочности.

места – внедренные атомы. Это приводит к затруднению сдвиговых деформаций, а в итоге к повышению предела прочности.

Тема 3. Сдвиг. Кручение.

Лекция 4

Сдвиг

Если на тело действуют две равные силы F , весьма близко расположенные друг к другу, перпендикулярные оси тела и направленные в противоположные стороны (рис.3.1), то под действием этих сил правое сечение тела будет стремиться сдвинуться вверх, а левое опуститься вниз. Деформация, которая при этом возникает в поперечных сечениях тела ав и сd называется сдвигом. Если напряжения, возникающие при этой деформации достигнут предельного значения – предела прочности, произойдет разрушение материала – срез.

d

c

b

a

F

F

Рис. 3.1

Рассмотрим стержень, для простоты прямоугольного сечения, претерпевший деформацию сдвига под действием двух сил F. Правое сечение сместится по отношению к левому на величину абсолютного сдвига . Величину называют относительным сдвигом.

Если провести в стержне сечение между двумя срезывающими силами (рис.3.2,б) и отбросить одну часть, то действие отброшенной части на оставшуюся часть следует, в соответствии с методом сечений, заменить внутренними силами. Силы эти будут действовать в плоскости сечения (рис.3.2,б). Следовательно, сдвиг вызывает касательные напряжения. При

равномерном их распределении по площади сечения, величина напряжений определится как

, (3.1)