Напряжения при изгибе балки

Рассмотрим консольную балку произвольного поперечного се­чения, постоянного по длине, нагруженную в вертикальной плос­кости моментом .

При прямом чистом изгибе балки справедливы:

1. Гипотеза плоских сеченийБернулли– сечения плоские и нор­мальные к оси балки до деформации, остаются плоскими и нормаль­ными к ее оси и после деформации.

2. Гипотеза о ненадавливаемости волокон: нормальные напряжения в продольных сечениях балки не возникают.

Двумя поперечными сечениями и + вырежем из балки элемент длиной . На его торцах возникнут изги­бающие моменты М_z, которые вызовут деформацию изгиба: продольная ось изогнется, длина же слоя не изменится.

Т.к. каждое волокно согласно принятым выше гипотезам ис­пытывает одноосное напряженное состояние, то:

где – кривизна нейтрального слоя балки.

Таким образом, нормальные напряжения распределяются по ли­нейному закону.

Или

где М_z – внутренний изгибающий момент в сечении, в котором оп­ределяют [Н×м]; J_z – осевой момент инерции поперечного сечения от­носительно нейтрального слоя [м⁴]; –расстояние от нейтраль­ного слоя до слоя, в котором определяют напряжения [м].

Эпюра нормальных напряжениив соответствии с представленной формулой изображена на рис.6. Наибольшие напряжения возни­кают в крайних волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси поперечного сечения балки.