Примеры решения задач

Классическое и статистическое определение вероятности

При классическом определении вероятность события определяет­ся равенством

P(A)=m/n,

где m – число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события А; n – общее число возможных элементарных исходов испытания. Предполагается, что элементарные исходы обра­зуют полную группу и равновозможны.

Относительная частота события А определяется равенством

W(A)=m/n,

где т— число испытаний, в которых событие А наступило; n —общее число произведенных испытаний.

При статистическом определении в качестве вероятности события принимают его относительную частоту.

Примеры решения задач

1. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях — четная, причем на грани хотя бы одной из костей появится шестерка.

Решение. На выпавшей грани «первой» игральной кости мо­жет появиться одно очко, два очка, ....,шесть очков. Аналогич­ные шесть элементарных исходов возможны при бросании «второй» кости. Каждый из исходов бросания «первой» кости может сочетать­ся с каждым из исходов бросания «второй». Таким образом, общее число возможных элементарных исходов испытания равно 6∙6=36. Эти исходы образуют полную группу и в силу симметрии костей равновозможны.

Благоприятствующими интересующему нас событию (хотя бы на од­ной грани появится шестерка, сумма выпавших очков – четная) являются следующие пять исходов (первым записано число очков, выпавших на «первой» кости, вторым – число очков, выпавших на «второй» кости; далее найдена сумма очков):

1) 6, 2; 6+2 = 8, 2) 6, 4; 6+4=10. 3) 6, 6; 6+6=12, 4) 2. 6; 2+6=8, 5) 4. 6; 4+6=10.

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благопри­ятствующих событию, к числу всех возможных элементарных исходов: Р=5/36.

2. При перевозке ящика, в котором содержались 21 стандартная и 10 нестандартных деталей, утеряна одна деталь, причем неизвестно какая. Наудачу извлеченная (после перевозки) из ящика деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что была утеряна: а) стандартная деталь; б) нестандартная деталь.

Решение, а) Извлеченная стандартная деталь, очевидно, не могла быть утеряна; могла быть потеряна любая из остальных 30 деталей (21+10–1=30), причем среди них было 20 стандартных (21–1=20). Вероятность того, что была потеряна стандартная де­таль, Р=20/30=2/3.

б) Среди 30 детален, каждая из которых могла быть утеряна, бы­ло 10 нестандартных. Вероятность того, что потеряна нестандартная деталь. Р=10/30=1/3.

3. Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что задуманным числом окажется: а) случайно на­званное двузначное число; б) случайно названное двузнач­ное число, цифры которого различны.

4. Указать ошибку «решения» задачи: брошены две игральные кости; найти вероятность того, что сумма вы­павших очков равна 3 (событие А).

«Решение». Возможны два исхода испытания: сумма выпавших очков равна 3, сумма выпавших очков не равна 3. Событию А благо­приятствует один исход; общее число исходов равно двум. Следова­тельно, искомая вероятность

Р(А)=1/2.

Ошибка этого «решения» состоит в том, что рассматриваемые ис­ходы не являются равновозможными.

Правильное решение. Общее число равновозможных исхо­дов равно 6∙6=36 (каждое число очков, выпавших на одной кости, может сочетаться со всеми числами очков, выпавших на другой кости). Среди этих исходов благоприятствуют событию А только два исхода (в скобках указаны числа выпавших очков): (1; 2) и (2; 1). Следо­вательно, искомая вероятность Р(А)=2/36=1/18.

5. Брошены две игральные кости. Найти вероятности следующих событий: а) сумма выпавших очков равна семи; б) сумма выпавших очков равна восьми, а разность – четырем; в) сумма выпавших очков равна восьми, если известно, что их разность равна четырем; г) сумма выпав­ших очков равна пяти, а произведение -- четырем.

6. Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера, которые затем тща­тельно перемешаны. Найти вероятность того, что науда­чу извлеченный кубик имеет окрашенных граней: а) одну; б) две; в) три.

7. Монета брошена два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится «герб».

8. В коробке шесть одинаковых, занумерованных ку­биков. Наудачу по одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков по­явятся в возрастающем порядке.

9. Найти вероятность того, что при бросании трех игральных костей шестерка выпадет на одной (безразлично какой) кости, если на гранях двух других костей выпадут числа очков, не совпадающие между собой (к не равные шести).

 

 

Решение. Общее число элементарных исходов испытания рав­но числу сочетаний из шести элементов по три, т. е. .

Число исходов, благоприятствующих появлению шестерки на одной грани и различного числа очков (не равного шести) на гранях двух других костей, равно числу сочетаний из пяти элементов по два, т. е. .

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благо­приятствующих интересующему нас событию, к общему числу воз­можных элементарных исходов: P= / = 1/2.

10.В пачке 20 перфокарт, помеченных номерами 101, 102, ... , 120 и произвольно расположенных. Перфораторщица наудачу извлекает две карты. Найти вероят­ность того, что извлечены перфокарты с номерами 101 и 120.

11. В ящике 10 одинаковых деталей, помеченных но­мерами 1, 2.....10. Наудачу извлечены шесть дета­лей. Найти вероятность того, что среди извлеченных дета­лей окажутся: а) деталь 1; б) детали № 1 и 2.

Решение. а) Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь шесть де­талей из десяти, т. е. .

Найдем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию: среди отобранных шести деталей есть деталь 1 и, сле­довательно, остальные пять деталей имеют другие номера. Число таких исходов, очевидно, равно числу способов, которыми можно отобрать пять деталей из оставшихся девяти, т.е. .

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благопри­ятствующих рассматриваемому событию, к общему числу возможных элементарных исходов: P= / = .

б) Число исходов, благоприятствующих интересующему нас со­бытию (среди отобранных деталей есть детали № 1 и № 2, следо­вательно, четыре детали имеют другие номера), равно числу способов, которыми можно извлечь четыре детали из оставшихся восьми, т. е.

Искомая вероятность .

12. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Най­ти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.

13. В конверте среди 100 фотокарточек находится одна разыскиваемая. Из конверта наудачу извлечены 10 карточек. Найти вероятность того, что среди них окажет­ся нужная.



14. В ящике 100 деталей, из них 10 бракованных. На­удачу извлечены четыре детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей: а) нет бракованных; б) нет годных.

15. Устройство состоит из пяти элементов, из которых два изношены. При включении устройства включаются случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.

16. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набра­ны нужные цифры.

17. В партии из N деталей имеется п стандартных. На­удачу отобраны т деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно k стандартных.

Решение. Общее число возможных элементарных исходов ис­пытания равно числу способов, которыми можно извлечь m деталей из N деталей, т. е. – числу сочетаний из N элементов по т.

Подсчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию (среди т деталей ровно k стандартных): k стандартных деталей можно взять из п. стандартных деталей способами; при этом остальные тk деталей должны быть нестандартными; взять же тk нестандартных деталей из Nп нестандартных деталей можно способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благо­приятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

18. В цехе работают шесть мужчин и четыре жен­щины. По табельным номерам наудачу отобраны семь че­ловек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся три женщины.

19. На складе имеется 15 кинескопов, причем 10 из них изготовлены Львовским заводом. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наудачу кинескопов ока­жутся три кинескопа Львовского завода.

20. В группе 12 студентов, среди которых 8 отлич­ников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов пять отличников.

21. В коробке пять одинаковых изделий, причем три из них окрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажутся: а) одно окрашенное изделие; б) два окрашенных изделия; в) хотя бы одно окрашенное изделие.

22. В «секретном» замке на общей оси четыре диска, каждый из которых разделен на пять секторов, на ко­торых написаны различные цифры. Замок открывается только в том случае, если диски установлены так, что цифры на них составляют определенное четырехзначное число. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок будет открыт.

23. Отдел технического контроля обнаружил пять бракованных книг в партии из случайно отобранных 100 книг. Найти относительную частоту появления брако­ванных книг.

Решение. Относительная частота события А (появление бра­кованных книг) равна отношению числа испытаний, в которых по­явилось событие А, к общему числу произведенных испытаний: W(А)=5/100=0,05.

24. По цели произведено 20 выстрелов, причем заре­гистрировано 18 попаданий. Найти относительную час­тоту попаданий в цель.

25. При испытании партии приборов относительная частота годных приборов оказалась равной 0,9. Найти число годных приборов, если всего было проверено 200 приборов.






Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 5395; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2019 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей. | Обратная связь
Генерация страницы за: 0.009 сек.