Оценивание по балльной шкале.

Эксперты оценивают объекты в произвольной балльной шкале. Затем результаты нормируются, т.е. делятся на сумму баллов по всем объектам для конкретного эксперта. После нормировки результаты сводятся в таблицу.

,

где это нормированный балл, присвоенный экспертом объекту .

Нормировка означает, что для всех .

В такой таблице информации больше, чем при ранжировании. Балльная шкала является промежуточной между количественной и порядковой шкалами, поэтому обработку результатов рекомендуется производить дважды:

1) обрабатывать их как количественные данные, используя обычные методы статистики для обработки результатов измерения;

2) обрабатывать методами для порядковых (ранговых) оценок. Предварительно следует перейти к таблице ранжирования.

Если результаты, полученные обоими путями близки друг к другу, то это означает, что полученные выводы основаны на исходной информации, а не на методах ее обработки. Если не совпадают, то следует выяснить причину этого.

При обработке по первому методу обычно используют средний балл:

. (8.5)

Разброс значений для этого объекта характеризуется величиной вариации:

, (8.6)

где . (8.7)

Обычно считают, что надежность оценок удовлетворительная, если все и хорошая, если все .

Пример 8.2.Четыре эксперта оценили восемь объектов по десятибалльной шкале ( ). Результаты приведены в таблице. Объект → Эксперт ↓ Перейдем к нормированным оценкам: Объект → Эксперт ↓ 0,227 0,068 0,159 0,205 0,045 0,182 0,023 0,091 0,182 0,114 0,136 0,205 0,068 0,159 0,045 0,091 0,146 0,104 0,208 0,188 0,063 0,167 0,042 0,083 0,192 0,096 0,135 0,173 0,115 0,154 0,058 0,077 0,187 0,096 0,16 0,193 0,073 0,166 0,042 0,086 0,033 0,02 0,034 0,015 0,03 0,012 0,015 0,007 0,176 0,208 0,213 0,078 0,411 0,072 0,357 0,081 Результаты вычислений по формулам (8.5) – (8.7) запишем в эту же таблицу. Те же результаты обработаем вторым методом. Для этого перейдем к ранговой шкале. Объект → Эксперт ↓ ; ; ; Число степеней свободы . По таблицам (Приложение ) находим . Результаты обработки обоими методами совпадают.

Парные сравнения.

Номер эксперта обозначим . Эксперт сравнивает каждую пару объектов и . Его оценка может выражать:

а) просто факт предпочтения объекта по сравнению с объектом : . Если наоборот, то .

б) балльную оценку предпочтения: .

в) долю суммарной интенсивности предпочтения, приходящуюся на объект : .

г) во сколько раз один объект важнее другого: .

По результатам экспертизы определяют средние арифметические оценки по всем экспертам:

: например, , где число экспертов.

Случай а) сводится к случаю в), если трактовать как долю экспертов, предпочитающих объект перед объектом .

Случай б) сводится к в) после введения таких оценок: .

Случай в) сводится к г) при использовании оценок: .

Поэтому рассмотрим обработку результатов экспертизы применительно к случаю г).

Ясно, что в идеальном случае должно выполняться условие транзитивности:

, (8.8)

в частности , откуда , т.е. в матрице на диагоналях стоят 1.

Если условие (8.8) выполняется, то существует такой положительный вектор , что , где число объектов. Компоненты вектора это как-бы идеальные оценки объектов (количественные характеристики ценности или важности объектов).

Реальная матрица условию (8.8) обычно не удовлетворяет, и ее приходится аппроксимировать идеальной матрицей, используя, например, следующие соображения.

Для идеальной матрицы справедливы равенства для любого :

. (8.9)

Эти равенства можно записать так:

. (8.10)

Собственный вектор матрицы – это такой, который при умножении на матрицу направления не меняет, а меняет только свою величину. Изменение величины называется собственным числом матрицы. Для идеальной (состоятельной) матрицы собственное число равно .

Для матрицы, удовлетворяющей условию (8.8), число является наибольшим характеристическим числом, а искомый вектор собственным вектором (8.10).

Из теоремы Перрона-Фробениуса следует, что любая матрица имеет наибольшее характеристическое число . Поэтому для матрицы, не удовлетворяющей условию (8.8), вектор ищется путем решения уравнения:

, (8.11)

причем все компоненты такого вектора обязательно оказываются положительными.

Существуют специальные методы решения уравнения (8.11). Мы воспользуемся итеративным методом, суть которого заключается в последовательном приближении

и .

и получаются на й итерации в соответствии с формулой

, (8.12)

где сумма всех компонент вектора , а в качестве можно взять любой положительный вектор, например, .

Итеративный процесс заканчивается, когда вектор перестает изменяться для заданной точности. Величина характеризует степень близости матрицы к идеальной (состоятельной), т.е. удовлетворяющей условию (8.8).

Пример 8.3.Четыре объекта сравниваются двумя экспертами. Требуется определить коэффициенты важности объектов. Получены следующие результаты: и . Определяем средний балл . Выбираем . . и . Далее повторяем итерации.   . и . . и . Изменения прекратились и вычисления можно закончить.

Рекомендуемая литература.

1. Теория статистики. Учебник. Под ред. Громыко Г.Л. М. Инфра-М, 2010.

2. Едронова В.Н., Малафеева М.В. Общая теория статистики. Учебник. М. Магистр, 2010.

3. Шмойлова Р.А. , В.Г. Минашкин Теория статистики: учебно-методический комплекс-М: Издательский центр ЕАОИ, 2008.

4. Эндрю Ф. Сигел. Практическая бизнес–статистика. Вильямс, 2008.