Система сходящихся сил. Приведение к равнодействующей силе

Системой сходящихся сил называют такую систему сил, линии действия которых пересекаются в одной точке (рис.2.1а). Сходящиеся системы сил могут быть пространственными и плоскими, т.е. расположенными в одной плоскости.

а		б
Рис.2.1

Предположим сначала, что на тело действует две силы и , приложенные в одной точке A и образующие между собой угол g=a+b (рис.2.1б).

Равнодействующая этих двух сил, согласно аксиоме о параллелограмме сил, равна геометрической сумме этих сил, т.е.

= + .

Модуль равнодействующей можно определить из треугольника , заметив, что ÐABC=180⁰ - (a+b), по теореме косинусов:

. (2.1)

Правило параллелограмма = правилу треугольника (видно из рис.2.1б). Отсюда ясно видно: проекция суммы двух сил равна сумме проекций, т.е.модулю равнодействующей

.

Определим направление равнодействующей, т. е. определим углы a и b, которые равнодействующая составляет с силами и . Применяя известную теорему тригонометрии (теорему синусов), из получаем:

. (2.2)

Формулы (2.1) и (2.2) определяют модуль и направление равнодействующей, если известны величины составляющих сил и угол между ними.

Рассмотрим общий случай пространственной системы сходящихся сил (рис.2.2а). Так как силы, действующие на твердое тело, являются скользящими векторами, то можно считать, что силы , ... этой системы сходящихся сил все приложены в точке О.

Вычислим равнодействующую силу этой системы сил.

Применяя к первым двум силам и аксиому параллелограмма сил, заменим их одной равнодействующей силой (рис.2.2б), причем . Затем по правилу параллелограмма складываем силы и и получаем их равнодействующую: и т.д. Продолжая процесс векторного сложения сил для всех n сил, получаем:

(2.3)

Таким образом, система сил, приложенных в одной точке, эквивалентна одной силе , равной геометрической сумме этих сил и приложенной в той же точке O (рис.2.2в).

Равнодействующая может быть получена построением силового многоугольника (рис.2.2г) из заданных сил.

В силовом многоугольнике конец одной из сил служит началом другой. Равнодействующая в силовом многоугольнике соединяет начало первой силы с концом последней. Силы в силовом многоугольнике можно изображать в любой последовательности.

		Для аналитического определения равнодействующей силы следует выбрать систему прямоугольных осей координат и воспользоваться известной из геометрии теоремой о том, что проекция замыкающей любого многоугольника на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций составляющих его сторон на ту же ось. Проецируя векторы полученного векторного равенства на прямоугольную систему координат, получим:   (2.4)   , (2.5) , , . В случае плоской системы сходящихся сил (рис.2.2д) одну из координатных осей, обычно ось z, выбирают перпендикулярной плоскости действия сил. Тогда
б
в
г     д
Рис.2.2