Теорема о трех непараллельных силах

Если система трех непараллельных сил находится в равновесии, то линии действия этих сил должны пересекаться в одной точке.

Рис.2.5

Пусть система трех сил , и , приложенных в точках А1, А2 и А3, находится в равновесии (рис.2.5). Предположим, что линии действия сил , пересекаются в точке О. Перенесем эти две силы по линиям их действия в точку пересечения О и по правилу параллелограмма найдем их равнодействующую .

Но система двух сил и находится в равновесии только в том случае, если эти силы направлены по одной прямой.

Следовательно, линия действия силы должна совпасть с линией действия силы .

Итак, для равновесия системы трех сил, лежащих в одной плоскости, необходимо (но недостаточно), чтобы линии действия этих сил пересекались в одной точке. Этой теоремой удобно пользоваться при решении задач на равновесие тел, находящихся под действием плоской системы трех сил.

Пример 2. Стержень АВ опирается одним концом на гладкую вертикальную стену, а другим концом в угол В. Определить реакции в точках А и В, если вес стержня Р, его длина 2l, расстояние ОВ=а (рис.2.6).

Решение. Реакция в точке А направлена ортогонально к стене ОА и пересекает линию действия силы Р в точке С. При равновесии третья сила - сила реакции в точке В - также пройдет через точку С (рис.2.6а).

Определим из чертежа: ; ; .

Зная линии действия реакций N_A и N_B, построим замкнутый силовой треугольник (рис.2.6б). Из силового треугольника получим:

; ; .

а   б
Рис. 2.6

Пример 3. Определить реакции опор однопролетной балки АВ длиной 2L, нагруженной сосредоточенной силой , приложенной посредине балки под углом a (рис. 2.7а).

Решение. На основании аксиомы связей освободим балку от опор А и В (рис.2.7б). Реакция шарнирно-подвижной опоры В направлена вертикально, ее линия действия пересекает линию действия заданной силы F в точке . Тогда по теореме о трех непараллельных силах линия действия реакции R_A шарнира А должна пройти через точку . (рис.2.7б). Рассматривая DC B и DA B, определим угол b :

а   б

Рис. 2.7

из DC B Þ , B = L×tg a;

из DA B Þ ; (а)

Продолжим линии действия сил R_A, F и V_B до их пересечения в точке , перенесем силы в эту точку (рис.2.7б). Составим уравнения равновесия в проекциях на оси x и y для сил, приложенных в точке :

; R_A· cosb - Fcosa = 0; (б)

; R_A· sinb - Fsina +V_B= 0. (в)

Из уравнения (б)

. (г)

Из уравнения (в), с учетом (а) и (г), находим