Устойчивость линейных САР (САУ). Введение
Одной из основных задач ТАР является исследование динамических процессов, протекающих в САР. САР всегда подвержена действию всевозможных внешних возмущающих сил (сигналы управления, настройки, помехи и др.), которые могут вывести её из состояния равновесия. Если система устойчива, то она вернётся к исходному состоянию.
С технической точки зрения требования к устойчивости системы являются более жёсткими, чем с математической, т.к. требует устойчивости не только как таковой, но требует и удовлетворения некоторых временных интервалов, в течение которых система должна восстановить устойчивость.
- номинальный режим движения системы (предположим, три координаты и три скорости. Или шесть координат(ещё углы) и шесть скоростей),
- реальное (возмущённое) движение.
- вектор приращений возмущений.
Для устойчивого движения объекта .
Движение называется устойчивым по Ляпунову, если при небольших изменениях начальных значений , (что соответствует малым начальным возмущениям) возмущенное движение при к ак угодно мало отличается от невозмущенного движения (асимптотически устойчиво).
Исходные уравнения, как правило, в общем случае нелинейные. Чтобы воспользоваться теоремами устойчивости Ляпунова, эти уравнения необходимо линеаризовать.
Пусть или
, (*)
Или в виде одного векторно-матричного уравнения:
, где - вектор управления.
Линеаризуем (*) в районе номинального значения (разложим в ряд Тейлора):
Индекс «0» означает, что линеаризация происходит в некоторой точке, где проводится анализ (если будет другая точка, то будут другие коэффициенты линеаризации и другое решение)
(2*)
Коэффициенты зависят от параметров системы
1) Самый простой случай - дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (часто можно решить аналитически)
2) - периодически меняющиеся коэффициенты. Есть методы определения аналитических решений (метод Рэлея, теория Флоке и т.д.)
3) - самый общий случай (только численное решение).
Условия, при которых можно использовать решение линеаризованных уравнений (*) при исследовании устойчивости движения без опаски ошибиться сформулированы Ляпуновым в следующих теоремах.
Теорема 1
Если все корни характеристического уравнения 1-го приближения имеют вещественные части отрицательные, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво при малых отклонениях (устойчива «в малом»), независимо от отброшенных частей.
Теорема 2
Если среди корней 1-го приближения есть хотя бы один с положительной вещественной частью, то движение неустойчиво, независимо от отброшенной части.
Критический (сомнительный) случай
Если система имеет нулевой или чисто мнимые корни, а остальные отрицательные, то нельзя однозначно сказать об устойчивости, это пограничный случай. В этом случае необходимы дополнительные исследования с помощью отброшенных частей.
ВООБЩЕ:для нелинейных систем устойчивость «в малом» ещё не даёт гарантии устойчивости «в большом», т.е. при любых начальных отклонениях. Т.е. здесь устойчивость зависит от величины начальных возмущений. В линейных (линеаризованных) системах устойчивость не зависит от начальных возмущений.
При аналитическом исследовании динамических свойств системы (САР) необходимо найти её дифференциальное уравнение и затем проинтегрировать. Т.е. будет найден закон изменения во времени интересующей нас величины. Однако решение ДУ высоких порядков достаточно сложно. Поэтому очень важно научиться судить об устойчивости без непосредственного решения ДУ. В дальнейшем исследуем именно однородную систему (независящую от управления, а только лишь от своих параметров):
.
Другая форма записи:
(3*)
Где - коэффициенты, определяемые параметрами системы.
Характеристическое уравнение:
(4*)
Обозначим корни данного характеристического уравнения . Тогда общее решение может быть записано так:
. Постоянные интегрирования зависят от начальных условий, наложенных на саму переменную и её производные.
Предположим, среди корней есть k- действительных корней и (n-k) – комплексных.
- возрастает во времени и, следовательно, процесс неустойчивый.
- убывает во времени, процесс устойчивый.
Теперь комплексные корни:
. Возможны следующие варианты:
Устойчивый (сходящийся, затухающий) колебательный процесс
Неустойчивый (расходящийся) колебательный процесс
Чисто колебательный процесс
Все пограничные состояния системы будем относить к неустойчивому движению.
Часто удобно представить характерное уравнение в следующем виде:
Если все корни найдены:
Важное значение приобретают правила, позволяющие определять устойчивость системы, минуя вычисление корней. Это правило называется критериями устойчивости.
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
Рекомендуемые огнетушащие средства | | | Характерные особенности лирики. |
Дата добавления: 2021-11-16; просмотров: 98;