Пространства со скалярным произведением

Введём еще одну дополнительную характеристику в пространстве сигналов в отображения упорядоченной пары векторов на поле скаляров из F.

Эту операцию называют скалярным (внутренним) произведением векторов и записывают в виде:

1. Если , то вектора х и у ортогональны.

2. Если –символ Кронекера: при и

при , система векторов – ортонормированная.

Система ортонормированных векторов линейно независимая.

В линейном пространстве со скалярным произведением норму и метрику целесообразно определять через скалярное произведение.

В ТЭС наибольший интерес представляют следующие линейные нормированные пространства:

1. – n-мерное вещественное евклидово пространство, в котором каждый вектор определяется совокупностью n его координат.

Скалярное произведение векторов в этом пространстве:

(2.1)

Оно порождает норму и расстояние:

	(2.2)
	(2.3)

Пример:определения нормы и метрики Евклида в декартовой системе координат: заданы два вектора (сигнала) положение которых полностью определено их координатами (рисунок 2.1).

Рисунок 2.1 – Определения нормы и метрики Евклида в декартовой системе координат

Расстояние между векторами определяет различимость сигналов. Чем больше расстояние (метрика), тем лучше различимы сигналы. Метрика Евклида применяется при декодировании свёрточных кодов с помощью алгоритма Витерби с мягким решением. Выигрыш от применения мягкого решения в отношении сигнал/шум по сравнению с жёстким решением составляет 2,5 дБ (при квантовании продетектированного сигнала на 8 уровней).

2. – бесконечномерное пространство Гильберта, которое образуют непрерывные комплексные или вещественные функции, заданные на интервале (0,Т):

(2.4)

– квадрат нормы – это энергия сигнала, если под иметь ввиду напряжение (ток) на сопротивлении 1 Ом. Энергию разностного сигнала можно представить следующим выражением:

(2.5)

В пространстве Гильберта определяется квадрат расстояния между любой парой сигналов (векторов). Величина полностью характеризует различие между сигналами.

3. 2n – n-мерное пространство Хэмминга, которое образуют двоичные n-последовательности, широко используемые в системах связи.

Норма, метрика в этом пространстве:

	(2.6)
где		–	суммирование по модулю «2».

Норма вектора в пространстве Хэмминга определяется общим количеством содержащихся в нём единиц, а расстояние между векторами – количеством позиций (разрядов) кодовых комбинаций, в которых они различаются.

Примеры:

1. Задана кодовая комбинация (вектор в пространстве Хэмминга): 1011010. Определить норму.

– норма данного вектора. Норма вектора в пространстве Хэмминга совпадает с количеством единиц в кодовой комбинации, т.е. с весом кодовой комбинации.

2. Заданы две кодовые комбинации: 1001011 и 0110010. Определить расстояние (метрику) в пространстве Хэмминга между кодовыми комбинациями.

Метрика (расстояние) между кодовыми комбинациями равна 5. Метрика Хэмминга находит широкое применение при декодировании свёрточных кодов по алгоритму Витерби с жёстким решением. Чем больше метрика Хэмминга, тем сильнее различима кодовые комбинации.

Выводы

1. Векторное представление применимо как для детерминированных функций, так и для случайных. В последнем случае скалярное произведение, норма и расстояние – случайные величины.