Типовые распределения

При проверке гипотез широкое применение находит ряд теоретических законов распределения. Наиболее важным из них является нормальное распределение. С ним связаны распределения хи-квадрат, Стьюдента, Фишера, а также интеграл вероятностей. Для указанных законов функции распределения аналитически не представимы. Значения функций определяются по таблицам или с использованием стандартных процедур пакетов прикладных программ. Указанные таблицы обычно построены в целях удобства проверки статистических гипотез в ущерб теории распределений – они содержат не значения функций распределения, а критические значения аргумента z(a).

Для односторонней критической области z(a)=z1–a, т.е. критическое значение аргумента z(a) соответствует квантили z1–a уровня 1–a, рис 3.3, так как

.

Рис. 3.3. Односторонняя критическая область

Для двусторонней критической области, с уровнем значимости a, размер левой области a2, правой a1 (a1+a2=a), рис. 3.4. Значения z(a2) и z(a1) связаны с квантилями распределения соотношениями

z(a1)= z1–a1, z(a2)= za2,

так как

,

Для симметричной функции плотности распределения f(z) критическую область выбирают из условия a1=a2=a/2 (обеспечивается наибольшая мощность критерия). В таком случае левая и правая границы будут равны |z(a/2)|.

Рис. 3.4. Двусторонняя критическая область

Нормальное распределение

Этот вид распределения является наиболее важным в связи с центральной предельной теоремой теории вероятностей: распределение суммы независимых случайных величин стремится к нормальному с увеличением их количества при произвольном законе распределения отдельных слагаемых, если слагаемые обладают конечной дисперсией. Кроме того, А.М. Ляпунов доказал, что распределение параметра стремится к нормальному, если на параметр оказывает влияние большое количество факторов и ни один из них не является превалирующим. Функция плотности нормального распределения:

(3.1)

– унимодальная, симметричная, аргумент х может принимать любые действительные значения, рис. 3.5.

Рис. 3.5. Плотность нормального распределения

Функция плотности нормального распределения стандартизованной величины
u имеет вид

.

Вычисление значений функции распределения Ф(u) для стандартизованного неотрицательного аргумента u (u>=0) можно произвести с помощью полинома наилучшего приближения [9, стр. 694]

Такая аппроксимация обеспечивает абсолютную ошибку не более 0,00025. Для вычисления Ф(u) в области отрицательных значений стандартизованного аргумента u (u<0) следует воспользоваться свойством симметрии нормального распределения

Ф(u) = 1 – Ф(– u).

Иногда в справочниках вместо значений функции Ф(u) приводят значения интеграла вероятностей (для u>0)

,

u > 0

(3.3)

Интеграл вероятностей связан с функцией нормального распределения стандартизованной величины u соотношением

Ф(u) = 0,5 + F(u).

Распределение хи-квадрат

Распределению хи-квадрат (c2-распределению) с k степенями свободы соответствует распределение суммы

квадратов n стандартизованных случайных величин ui, каждая из которых распределена по нормальному закону, причем k из них независимы, n>=k. Функция плотности распределения хи-квадрат с k степенями свободы

, x >= 0,

(3.4)

где х=c2, Г(k/2) – гамма-функция.

Число степеней свободы k определяет количество независимых слагаемых в выражении для c2. Функция плотности при k, равном одному или двум, – монотонная, а при k>2 – унимодальная, несимметричная, рис. 3.6.

Рис. 3.6. Плотность распределения хи-квадрат

Математическое ожидание и дисперсия величины c2 равны соответственно k и 2k . Распределение хи-квадрат является частным случаем более общего гамма-распределения, а величина, равная корню квадратному из хи-квадрат с двумя степенями свободы, подчиняется распределению Рэлея.

С увеличением числа степеней свободы (k>30) распределение хи-квадрат приближается к нормальному распределению с математическим ожиданием k и дисперсией 2k. В таких случаях критическое значение

c2(k; a) » u1–a(k, 2k),

где u1–a(k, 2k) – квантиль нормального распределения. Погрешность аппроксимации не превышает нескольких процентов.

Распределение Стьюдента

Распределение Стьюдента (t-распределение, предложено в 1908 г. английским статистиком В. Госсетом, публиковавшим научные труды под псевдонимом Student) характеризует распределение случайной величины

где u0, u1, …, uk взаимно независимые нормально распределенные случайные величины с нулевым средним и конечной дисперсией. Аргумент t не зависит от дисперсии слагаемых. Функция плотности распределения Стьюдента

(3.5)

Величина k характеризует количество степеней свободы. Плотность распределения – унимодальная и симметричная функция, похожая на нормальное распределение, рис. 3.7.

Рис. 3.7. Плотность распределения Стьюдента

Область изменения аргумента t от минус до плюс бесконечности. Математическое ожидание и дисперсия равны 0 и k/(k–2) соответственно, при k>2. По сравнению с нормальным распределение Стьюдента более пологое, оно имеет меньшую дисперсию. Это отличие заметно при небольших значениях k, что следует учитывать при проверке статистических гипотез (критические значения аргумента распределения Стьюдента превышают аналогичные показатели нормального распределения). Таблицы распределения содержат значения для односторонней критической области (пределы интегрирования от r(k; a ) до бесконечности)

или двусторонней критической области (пределы интегрирования
от – r(k; a) до r(k; a))

Распределение Стьюдента применяется для описания ошибок выборки при k<30. При k, превышающем 100, данное распределение практически соответствует нормальному, для значений k из диапазона от 30 до 100 различия между распределением Стьюдента и нормальным распределением составляют несколько процентов. Поэтому относительно оценки ошибок малыми считаются выборки объемом не более 30 единиц, большими – объемом более 100 единиц. При аппроксимации распределения Стьюдента нормальным распределением для односторонней критической области вероятность

Р{t>t(k; a)} = u1–a(0, k /(k–2)),

где u1–a(0, k/(k–2)) – квантиль нормального распределения. Аналогичное соотношение можно составить и для двусторонней критической области.

Распределение Фишера

Распределению Р.А. Фишера (F-распределению Фишера – Снедекора) подчиняется случайная величина

х=[(y1/k1)/(y2/k2)],

равная отношению двух случайных величин у1 и у2, имеющих хи-квадрат распределение с k1 и k2 степенями свободы. Область изменения аргумента х от 0 до бесконечности. Плотность распределения

.

(3.6)

В этом выражении k1 обозначает число степеней свободы величины y1 с большей дисперсией, k2 – число степеней свободы величины y2 с меньшей дисперсией. Плотность распределения – унимодальная, несимметричная, рис. 3.8.

Рис. 3.8. Плотность распределения Фишера

Математическое ожидание случайной величины х

m1 = k2 /(k2–2) при k2>2,

дисперсия

т2 = [2k22(k1 + k2 –2)]/[k1(k2 –2)2(k2–4)] при k 2 > 4.

При k1>30 и k2>30 величина х распределена приближенно нормально:

с центром распределения (k1–k2)/(2k1k2) и дисперсией (k1+k2)/(2k1k2).