Решение уравнения Гельмгольца в прямоугольнике.

Рассмотрим уравнение Гельмгольца в прямоугольной области конечных размеров:

. (49)

Следуя методу «разделения переменных», предложенного французским математиком Фурье ещё в 1816 году, ищем решение этого уравнения в форме произведения двух функций (по числу измерений!), каждая из которых зависит только от одной пространственной переменной:

. (50)

Подставим зависимость (50) в уравнение (49) и разделим все члены получаемого соотношения на искомую функцию:

. (51)

Поскольку переменные х и у являются независимыми, единственная возможность заключается в предположении, что справедливы уравнения

. (52)

Общие решения уравнений (52) имеют вид:

(53)

Частные решения уравнения (49) с точностью до произвольного сомножителя представляют собой следующую совокупность комбинаций произведений:

 

(54)

Для задачи первого рода с граничным условием U(x,y)=0 на границе области D допустимым решением является последовательность зависимостей

, (55)

На рисунках 3 и 4 показана графическая иллюстрация зависимостей (55) для двух конкретных наборов параметров m и n, размеры прямоугольной области указаны в подписях к рисункам.

 

Рис. 3. Продольная компонента электрического поля Ez в поперечном сечении волновода (a=2,b=1,m=1,n=1).

 

 

 

Рис. 4. Продольная компонента электрического поля Ez в поперечном сечении волновода (a=2,b=1,m=5,n=3).

 

 

Для краевой задачи второго рода (граничное условие – нормальная производная равна нулю на границе области) из соотношений (54) выбираем последовательность:

, (56)

На рисунках 5 и 6 показаны трёхмерные графики конкретных членов последовательности (56). Для удобства сравнения результатов решения первой и второй краевой задачи значения индексов m и n на рисунках 3 и 5, а также на рисунках 4 и 6 совпадают.

 

Рис. 5. Продольная компонента магнитного поля Hz в поперечном сечении волновода (a=2,b=1,m=1,n=1).

 

Рис. 6. Продольная компонента электрического поля Hz в поперечном сечении волновода (a=2,b=1,m=5,n=3).

Если интерпретировать приведённые результаты как результаты анализа распространения электромагнитных волн Е-типа и Н-типа в волноводе прямоугольного сечения конечных размеров, необходимо отсечь все комбинации индексов m и n, при которых величина оказывается отрицательной. Для оставшихся допустимых комбинаций индексов можно получить распределения всех проекций векторов напряжённости электрического и магнитного полей по области D с использованием зависимостей (10) или (25), т.е. довести решение задачи до конца.

 






Дата добавления: 2017-09-01; просмотров: 1837; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2019 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей. | Обратная связь
Генерация страницы за: 0.006 сек.