Решение уравнения Гельмгольца в круге.

Рассмотрим уравнение Гельмгольца в полярной системе координат в круговой области конечного размера:

в . (57)

Искомое решение представляем в форме произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной пространственной переменной:

(58)

После подстановки зависимости (58) в уравнение (57) и деления всех членов полученного соотношения на правую часть зависимости (58) получаем

. (59)

Если предположить, что функция Ф удовлетворяет уравнению

, (60)

а величина параметра n определяется условием периодичности , справедливым для целых значений t, получим аналитическое выражение

 

, (61)

как угловую часть искомого решения. В этом случае из уравнения (59) следует уравнение для радиальной части искомого решения:

(62)

Уравнение (62) имеет специальное название – «уравнение Бесселя», Бессель( ) – немецкий математик, ему принадлежат первые результаты анализа решений этого уравнения. Решение уравнения (62), не имеющее особенности в начале координат, записывают как функцию Бесселя первого рода порядка n:

. (63)

Нам достаточно знать, что эта функция может иметь представление в форме степенного ряда, как и привычные тригонометрические функции, для значений функций Бесселя существуют математические таблицы, её вычисление не представляет никаких трудностей при использовании современного математического обеспечения персональных компьютеров.

Рис. 7. Графики функций Бесселя первого рода.

 

На рис. 7 приведены графики функций Бесселя первого рода нулевого, первого, второго и третьего порядков при значении параметра , равного единице. Здесь следует обратить внимание на периодический характер зависимостей. Постепенное убывание амплитуды «колебаний» для рассматриваемых нами задач не имеет существенного значения.

 

 

Рис.8. Влияние параметра на поведение функции Бесселя первого рода второго порядка.

 

На рис.8. на конкретно примере показано влияние величины параметра на поведение функции Бесселя первого рода второго порядка. Здесь следует обратить внимание на то, что влияние параметра очень похоже на влияние этого параметра в зависимости : мы наблюдаем «сжатие» радиальной координаты.

Теперь можно перейти к рассмотрению краевых задач первого и второго рода. Заметим, что в обоих случаях форма записи частного решения с точностью до множителя имеет один и тот же вид:

, . (64)

Решения задачи первого типа и решение задачи второго типа различаются только набором допустимых значений параметра при заданном значении параметра n.

Электромагнитная волна первого типа – типа Е.В этом случае требуется выполнения условия равенства нулю искомой функции на боковой поверхности волновода:

(65)

После определения набора допустимых значений параметра с помощью трансцендентного уравнения (65), зависимость (64) полностью определена. Интересно посмотреть графическое изображение зависимости (64) для случая электромагнитной волны Е-типа. На рисунках 9 и 10 показано распределение осевой проекции вектора напряжённости электрического поля по площади поперечного сечения круглого волновода и расположение изолиний (линий равной величины функции двух переменных) для одного из наборов допустимых индексов. Аналогичные результаты приведены и на рисунках 11 и 12 для другого набора допустимых значений индексов.

 

Рис. 9. Распределение продольной компоненты электрического поля по поперечному сечению цилиндрического волновода ( ).

 

Рис. 10. Линии равной амплитуды продольной компоненты электрического поля в поперечном сечении цилиндрического волновода ( ).

 

 

Рис. 11. Распределение продольной компоненты электрического поля по поперечному сечению цилиндрического волновода ( ).

 

Рис. 12. Линии равной амплитуды продольной компоненты электрического поля в поперечном сечении цилиндрического волновода ( ).

 

На этих рисунках видно, величина действительно обращается в нуль на боковой поверхности волновода, семейство изолиний не пересекает боковую поверхность волновода, увеличение индекса n приводит к изменению структуры электромагнитной волны.

 

Электромагнитная волна второго типа – типа Н. Производная по радиальному направлению осевой проекции вектора напряжённости магнитного поля на боковой поверхности волновода должна обращаться в нуль:

(66)

Трансцендентное уравнение (66) имеет дискретную последовательность решений для допустимых значений параметра при каждом конкретном значении параметра n. Описанные значения получают с помощью графического или численного методов решения трансцендентных уравнений. После этого зависимость - формула (64) – полностью определена и может быть использована для расчета остальных компонент электромагнитного поля. Характер распределения величины по площади поперечного сечения волновода можно проследить по рисункам 13 – 18. В частности, на рисунках 13 и 14 значения индексов совпадают со значениями индексов решений для волны типа Е, что облегчает возможность заметить принципиальную разницу распределений физических величин и . Следует обратить внимание на то, что изолинии перпендикулярны боковой поверхности волновода на границе поперечного сечения волновода. Сравнивая рисунки 14 и 16, отмечаем характер изменения семейства изолиний с изменением номера параметра при одинаковом значении параметра n. А сравнение рисунков 14 и 18 позволяет отследить влияние параметра n.

 

 

 

Рис. 13. Распределение продольной компоненты магнитного поля по поперечному сечению цилиндрического волновода ( ).

 

 

Рис. 14. Линии равной амплитуды продольной компоненты магнитного поля в поперечном сечении цилиндрического волновода ( ).

 

 

Рис. 15. Распределение продольной компоненты магнитного поля по поперечному сечению цилиндрического волновода ( ).

 

 

Рис. 16. Линии равной амплитуды продольной компоненты магнитного поля в поперечном сечении цилиндрического волновода ( ).

 

 

 

Рис. 17. Распределение продольной компоненты магнитного поля по поперечному сечению цилиндрического волновода ( ).

 

 

 

Рис. 18. Линии равной амплитуды продольной компоненты магнитного поля в поперечном сечении цилиндрического волновода ( ).

 

В заключение ещё раз отметим следующее. Если интерпретировать приведённые результаты как результаты анализа распространения электромагнитных волн Е-типа и Н-типа в волноводе круглого сечения конечных размеров, необходимо отсечь все комбинации индексов решения, при которых величина оказывается отрицательной. Для оставшихся допустимых комбинаций индексов можно получить распределения всех проекций векторов напряжённости электрического и магнитного полей по области . Использование зависимостей (10) или (25) становится эффективным, если произвести замену переменных

. (67)

Таким образом, имеется практически осуществимая возможность довести решение задачи до конца.

 






Дата добавления: 2017-09-01; просмотров: 2661; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.038 сек.