ПРЕДМЕТ «ГИДРОГАЗОДИНАМИКА». ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ

Гидрогазодинамикой называется раздел механики, изучающей законы движения и равновесия жидкостей, а также законов взаимодействия жидких сред с находящимися в них телами. Понятие жидкости включает как мало сжимаемые капельные жидкости, так и легкосжимаемые газы. Более правильно называть эту науку гидрогазомеханикой или механикой жидкости и газа, так как здесь рассматривают законы не только движения, но и равновесия, относящиеся к разделу статики.

Первоначально возникла гидравлика – прикладная наука, в которой изучаются законы движения и равновесия жидкости и даются способы приложения этих законов к решению конкретных технических задач. В Китае и других странах древнего мира уже 7000 лет назад существовали оросительные каналы и устройства для подачи воды. В Риме сохранились остатки древнего водопровода, построенного за 6 веков до нашей эры.

Первым сочинением по гидравлике считается трактат греческого физика Архимеда «О плавающих телах», написанный за 250 лет до нашей эры. Архимедом был открыт закон равновесия тела, погруженного в жидкость. Архимед сформулировал основные положения гидростатики, в том числе знаменитый закон, названный его именем. Архимед изобрел водоподъемный механизм, так называемый архимедов винт, явившийся прообразом корабельных, а также воздушных винтов.

Вследствие застоя науки в средние века гидравлика почти 17 столетий не пополнялась новыми открытиями. Формирование гидрогазодинамики как науки начинается в середине XV века, когда Леонардо да Винчи (1452—1519 гг.) своими лабораторными опытами положил начало экспериментальному методу в этой отрасли. Он занимался исследованием истечения жидкости из отверстия и движения воды в реках и каналах, а также изучал принципы полета птиц и предложил два варианта летательных аппаратов, один из которых имитировал полет птицы, а второй соответствовал принципу полета современных вертолетов. Однако его сочинения были опубликованы лишь спустя более 400 лет после его смерти и практически не использовались.

В 1586 г. голландский ученый Стевин опубликовал книгу «Начала гидростатики», а в 1612 г. итальянский ученый Галилей – трактат «О телах, находящихся в воде, и о тех, которые в ней движутся».

Ученик Галилея Торричелли в 1643 г. вывел формулу истечения жидкости из отверстия.

В 1650 г. французский ученый Паскаль открыл закон о передаче жидкостью внешнего давления. Этот закон является основой для расчета гидравлических прессов и гидроподъемников.

Великий английский ученый, физик и математик И. Ньютон в 1686 г. сформулировал гипотезу о законах внутреннего трения и впервые ввел понятие вязкости в жидкостях. Ньютон был не только выдающимся теоретиком, но также проводил эксперименты, наблюдая за свободным падением сфер с купола собора Святого Павла. На основании полученных результатов он отметил, что силы, действующие между твердым телом и жидкостью, одинаковы, движется ли тело с некоторой равномерной скоростью через покоящуюся жидкость или жидкость обтекает неподвижное тело с такой же скоростью. При этом силы, действующие на геометрически подобные тела, которые двигаются в жидкостях с различной плотностью, пропорциональны квадрату скорости, квадрату линейных размеров тела и плотности жидкости. Он также обратил внимание на то, что эта закономерность применима как к воде, так и к воздуху.

Дальнейшее развитие науки связано с разработкой математического описания процесса движения деформируемой среды.

В 1738 г. Даниил Бернулли обосновал теорему о запасе энергии движущейся частицы, которая является основной теоремой современной гидродинамики.

Основателем теоретического направления развития гидрогазодинамики является Леонард Эйлер, который в 1755 г. вывел дифференциальные уравнения равновесия и движения невязкой жидкости. Работы Эйлера позволили считать, что описание движения жидкости и взаимодействия ее с твердыми телами может рассматриваться как чисто математическая задача, основная проблема которой состоит в интегрировании уравнений динамики. В 1788 г. математик Лагранж утверждал, что благодаря открытию Эйлера вся механика жидкости свелась к вопросу анализа, и будь эти уравнения интегрируемыми, можно было бы в любом случае полностью определить движение жидкости под воздействием любых сил.

Дальнейшее развитие гидрогазодинамики было связано преимущественно с разработкой и совершенствованием математического аппарата и теоретическим исследованием процесса движения идеально жидкости, не обладающей внутренним трением. Были достигнуты значительные успехи в этом направлении, однако в ряде случаев результаты расчетов резко расходились с наблюдениями. В частности на чрезвычайно важные вопросы, как велика потеря давления в трубе или сопротивление движущегося в жидкости тела, теоретическая гидрогазодинамика отвечала, что потеря давления и сопротивление равны нулю. Следовательно, для инженеров теоретическая гидродинамика не могла иметь большого значения, т.к., с одной стороны, требовались большие математические познания, а с другой стороны возможность практического применения теории была мала.

В результате этого на основании огромного опытного материала трудами инженеров, в первую очередь работами Д. Бернулли, Вейсбаха, Дарси, Буссинеска, была создана новая наука – гидравлика, которая своими методами и целями стала все более отличаться от теоретической гидрогазодинамики.

Гидрогазодинамика как раздел механики на основании общего представления о действующих силах математическими методами пыталась перейти от поведения элемента жидкости к описанию поведения всей жидкости. Основным правилом являлось корректное математическое описание в рамках рассматриваемой схемы взаимодействия отдельных элементов жидкости. При таком походе гидрогазодинамика идеальной жидкости не могла предсказывать те явления, которые обусловлены свойствами реальной жидкости, не учитываемыми в принятой идеальной схеме взаимодействия.

По-другому стала поступать гидравлика. Не пытаясь охватить единой теорией все наблюдаемые явления, гидравлика на основе элементарных опытных данных попыталась для каждой конкретной задачи дать расчетную формулу, учитывая особенности задачи применением соответствующих коэффициентов. В результате этого гидравлика распалась на ряд отдельных проблем. Каждый из новых возникающих вопросов решался при помощи специальных экспериментов и путем введения коэффициентов, найденных на основании этих экспериментов. Гидравлика становилась все более и более наукой о коэффициентах.

Сложившаяся ситуация характеризовалась тем, что инженеры-гидравлики наблюдали то, что нельзя было объяснить, а математики-гидрогазодинамики объясняли то, что нельзя было наблюдать.

Сближение этих научных направлений было связано с учетом в гидрогазодинамике реальных свойств жидкости и построением схем взаимодействия элементов жидкости на основе наблюдаемых явлений.

Основные учения о движении вязкой жидкости были заложены в 1821 г. французским ученым Навье и получили свое завершение в 1845 г. в работах Стокса. Стокс обобщил закон Ньютона о внутреннем трении в жидкости и выведены уравнения движения вязкой жидкости, получившие наименование уравнений Навье-Стокса.

Экспериментальные исследования движения жидкости в трубах очень малого диаметра применительно к движению крови по сосудам проведены французским врачом и естествоиспытателем Пуазейлем в 1840 – 1842 гг.

Стоксом были проинтегрированы уравнения движения вязкой жидкости в круглой трубе и для равномерного движения шара в неограниченном объеме жидкости. Оказалось, что расчетные и экспериментальные данные совпадают только при малых скоростях жидкости и малых диаметрах труб. Причину наблюдающихся расхождений выявил Рейнольдс на основании проведенных в 1883 г. опытов. Он показал, что существуют два принципиально различных режима течения жидкости: ламинарный и турбулентный. При ламинарном течении жидкость движется как бы слоями без перемешивания. Здесь поток жидкости полностью управляется стенками канала. При турбулентном режиме течения траектории движения частиц жидкости хаотически меняются, сохраняя в среднем направление вдоль стенок канала.

Уравнения осредненного турбулентного движения вязкой жидкости, аналогичные уравнениям Навье-Стокса и получившие название уравнений Рейнольдса, включают дополнительные члены, учитывающие дополнительные напряжения в жидкости, возникающие вследствие турбулентных пульсаций скорости.

В 1904 г. Л. Прандтль в своем докладе «О движении жидкости при очень малом трении» указал путь, сделавший доступным теоретическому исследованию течение жидкости с трением в практически важных случаях. На основании общих представлений о структуре потока и результатов некоторых простых экспериментов он показал, что течение в окрестности тела можно на две области: на область очень тонкого слоя вблизи тела, так называемый пограничный слой, где трение играет существенную роль, и на область вне этого слоя, где трением можно пренебрегать.

Эта гипотеза, с одной стороны, позволила получить очень наглядное объяснение важной роли вязкости в проблеме сопротивления, а с другой стороны дала возможность преодолеть математические трудности и тем самым открыла путь теоретическому исследованию движения жидкости с трением.

С развитием промышленности появилась необходимость в описании движения газа, двигающегося с высокой скоростью. На этой основе возникло новое научное направление – газовая динамика. Еще в первой половине ХIX века в работах Пуассона, Стокса, Ирншоу были впервые теоретически проанализированы эффекты, возникающие при распределении волн давления в сжимаемой среде, и была отмечена возможность возникновения разрывов в пространственном распределении параметров среды. В 70-х годах ХIX века Мах экспериментально подтвердил появление разрывов при движении тел в газе со сверхзвуковой скоростью. Им же рассмотрены схемы поведения разрывов при полете тел и истечении струй со сверхзвуковыми скоростями.

С начала и до 30-х годов ХХ века было выполнено большое количество теоретических работ, рассматривающих обтекание крыла самолета сжимаемым газом и движение газа в соплах и лопатках турбины. В эти же годы создавались испытательные стенды для моделирования течений сжимаемого газа. К 1935 г. в Англии, Италии, Германии, США, СССР были построены первые аэродинамические трубы.

В послевоенные годы с появлением электронных вычислительных машин возникла и стала стремительно развиваться вычислительная гидродэродинамика, использующая методы математического моделирования процессов движения жидкости и газа и взаимодействия их с телами различной формы.

Существенной особенностью современного состояния гидроаэродинамики является тесная связь теории и эксперимента. С помощью математического моделирования путем проведения многовариантных расчетов выбираются оптимальные профили элементов технологических установок или режимы их работы, а затем полученные результаты проверяются на физических моделях на стендовых установках и в аэродинамических трубах. По такой схеме отрабатываются профили автомобилей, самолетов, кораблей, подводных лодок, каналы паровых, газовых и гидравлических турбин и другого оборудования.

Лекция 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ

При изучении поведения тел необходимо опираться на их реальные свойства. Как известно, все тела представляют собой совокупность разного сорта молекул и атомов. Радиус атома ядра имеет порядок 10^{-13 см, радиус молекулы водорода 1,36}×10^{-8 см, т.е. радиус ядра атома много меньше (в 100 000 раз) меньше радиуса молекулы. В то же время именно в нем сосредоточена основная масса вещества: масса электрона 9,1}×10^-28г, масса протона 1,67×10^-24г.

Объемы, занимаемые телами, много больше объемов, в которых сосредоточено само вещество. Все тела, по существу, состоят из пустоты и в то же время в практически малых объемах пространства, занятого телом, всегда заключено большое число частиц.

Общее описание движения жидкости, понимаемой как материя с молекулярной структурой, заключалось бы в составлении уравнений движения для всех отдельных молекул. Однако нас интересуют вовсе не движения отдельных молекул, а движение жидкости в целом или движение отдельных частей, в которых содержится много молекул, как возникают скорости или ускорения, какою плотностью или температурой обладают жидкость или газ в определенных местах.

Для решения поставленной задачи будем использовать понятие сплошной среды. Хотя все тела состоят из отдельных частиц, но при этом таких частиц очень много в любом существенном для нас объеме, будем считать, что рассматриваемый объем заполнен жидкостью или газом сплошным образом. Такое идеальное представление позволяет использовать математический аппарат дифференциального и интегрального исчисления.

Можно оценить, в каких условиях жидкость или газ допустимо рассматривать в виде сплошной среды. Возьмем какую-нибудь жидкость или газ и будем ее рассматривать как систему раздельных материальных точек, занимающих в пространстве объем W. Предположим, что плотность жидкости в объеме неодинакова. Под средней плотностью вещества понимают отношение массы вещества m, содержащегося в объеме W, к величине объема, т.е.

. (2.1)

Будем уменьшать размер объема, стягивая его в точку А. Сначала величина будет монотонно приближаться к некоторой величине r_А, представляющей собой оценку плотности вещества в точке А. Затем при дальнейшем уменьшении объема W величина начнет колебаться около значения r_А, причем размах колебаний будет возрастать с уменьшением величины объема. Объясняется это тем, что при очень малых размерах начинает проявляться молекулярная структура вещества. В пределе плотность вещества, рассчитываемая по формуле (1.1), будет изменяться от нуля до очень большого значения в зависимости от того, попадут молекулы вещества в объем W или нет.

Очевидно, что в качестве оценки плотности вещества в точке А можно принять значение , которое не зависит от величины объема W. Отсюда следует, что, во-первых, величина W должна быть достаточно малой, чтобы в пределах этого объема плотность вещества была практически одинаковой, и, во-вторых, величина W должна быть достаточно большой, чтобы случайные перемещения молекул не оказали заметного влияния на содержание вещества в объеме.

Согласно закону Авогадро один моль любого вещества содержит 6,022×10²³ молекул. Считая, что моль воздуха весит 29 г, а удельная плотность воздуха при атмосферном давлении и 0°С равна 1,293 кг/м³, получим, что в объеме W=1 см³ содержится около 2,68×10¹⁹ молекул. Эта величина является огромной и безусловно воздух в объеме 1 см³ можно рассматривать как сплошную среду. В кубике воздуха с размерами граней 1 мкм= 1/1000 мм содержатся 2,68×10⁷ молекул, что также достаточно много. При дальнейшем уменьшении размеров объема W, по-видимому, придется учитывать молекулярную структуру вещества.

Для жидкостей ограничения в допустимости гипотезы о сплошной среде еще более слабы. Моль воды весит 18 г. При плотности воды 1000 кг/м³ в W=1 см³ находится 3,35×10²² молекул, в W=1 мкм³ - 3,35×10¹⁰ молекул. Даже уменьшение размера грани до 0,1 мкм позволит рассматривать жидкость в этом объеме как сплошную среду.

В дальнейшем будем считать, что все рассматриваемые нами объемы dW содержат достаточно большое количество молекул, позволяющее пренебрегать молекулярной структурой вещества.

Первоначально гидродинамика рассматривалась как наука о движении жидкости, причем в качестве жидкости выступала преимущественно вода. В дальнейшем по мере развития техники возникли задачи расчета движения газов. При этом оказалось, что газы и жидкости имеют много общего.

Основным общим свойством жидкостей и газов является их текучесть. Все вещества испытывают деформацию под действием сил. Деформация называется упругой, если она исчезает после устранения силы, и пластической, если она сохраняется после удаления силы. Течением называется такая деформация, которая непрерывно беспредельно увеличивается под действием сколь угодно малых сил.

К жидкостям относят те вещества, которые текут. Жидкости делятся на две категории: на собственно жидкости или капельные жидкости и на газы. Различие между ними состоит в следующем. Во-первых, жидкость при постоянной температуре и давлении имеет определенный объем. Если жидкость поместить в сосуд, то под действием силы тяжести она будет иметь форму нижней части сосуда и сверху будет ограничена свободной поверхностью. Газ заполняет любое замкнутое пространство, в которое он имеет доступ. Во-вторых, жидкие тела очень мало сжимаемы, а газообразные легко поддаются сжатию. Все известные жидкости в незначительной степени сжимаемы. При увеличении давления с 1 ата до 1000 ата объем воды уменьшается приблизительно на 5%. При этом никаким способом невозможно сжать один литр воды, чтобы он поместился в сосуде емкостью пол-литра. В дальнейшем будем считать жидкости несжимаемыми.

Для того, чтобы при неизменной температуре уменьшить объем газа вдвое, необходимо в два раза увеличить давление, например с 1 до 2 ата.

Сжимаемость газа также проявляется при движении его с относительно высокими скоростями: при торможении газа его плотность и температура увеличиваются, при увеличении скорости – снижаются.

Вместе с тем во многих практических задачах газ также можно считать несжимаемым. В этих случаях движения газа и жидкости описываются одними и теми же уравнениями, в которые в виде параметров входят физические характеристики среды.

Основной характеристикой, используемой в расчете движения жидкостей и газов, является величина, определяющая массовое содержание вещества в некотором объеме. Такими характеристиками являются удельная плотность, удельный вес и удельный объем.

Значение удельной плотности среды в некотором объеме определяется как отношение массы m, заключенной в этом объеме, к величине самого объема W

. (2.2)

Под удельной плотностью в данной точке принимается предел

. (2.3)

При этом негласно предполагается, что бесконечно малое приращение объема DW содержит достаточно большое количество молекул жидкости, чтобы считать жидкость сплошной средой.

В системе СИ масса измеряется в килограммах, линейные размеры – в метрах, поэтому размерность удельной плотности – кг/м³. В ряде случаев плотность вещества измеряют в г/см³ и т/м³.

Удельным весом называется вес единицы объема жидкости. В технической системе измерения МКГСС вес измеряется в килограммах силы, поэтому численные значения удельной плотности и удельного веса совпадают. В системе СИ сила и вес измеряются в ньютонах, поэтому в этой системе между удельным весом g и плотностью жидкости r существует связь

, (2.4)

где g — ускорение свободного падения. В системе СИ удельный вес измеряется в н/м³ или кг/(м²×с²).

Удельный объем – это объем, занимаемый единицей массы жидкости, или отношение некоторого объема к массе жидкости, находящейся в этом объеме

. (2.5)

По своему смыслу эта величина обратна удельной плотности

(2.6)

и имеет размерность м³/кг или см³/г.

Из капельных жидкостей в природе наиболее распространена вода. При изменении температуры от 4 до 50° С плотность воды меняется от 1000 до 988 кг/м³ и в практических расчетах обычно берется r = 1000 кг/м³ или
r = 1 г/см³.

Другим важным физическим свойством жидкости является ее сжимаемость, отражающая способность жидкости изменять свой объем под действием внешних сил. Сжимаемость характеризуется коэффициентом сжатия β, выражающим относительное изменение объема при изменении давления:

. (2.7)

Размерность коэффициента сжатия обратно пропорциональна размерности давления и в системе СИ измеряется в м²/н = 1/Па. Знак «минус» в правой части (1.7) вызван тем, что коэффициент сжатия – величина положительная, а при увеличении давления объем жидкости уменьшается, поэтому производная .

При нагревании все тела, в том числе жидкости и газы, расширяются. Интенсивность этого процесса характеризует коэффициент температурного расширения a, определяемый из выражения

. (2.8)

Размерность коэффициента температурного расширения обратно пропорциональна размерности температуры и в системе СИ измеряется в 1/град.

Коэффициенты сжатия и температурного расширения зависят от рода жидкости, ее температуры и давления. Для капельных жидкостей значения коэффициентов приводятся в табличном виде, для газов эти характеристики можно определить из уравнения состояния Менделеева-Клайперона.

Физической характеристикой, которая существенным образом влияет на режимы движения жидкостей и сопротивление трубопроводов является вязкость. При движении идеальной жидкости, т.е. жидкости без трения между отдельными ее соприкасающимися слоями возникают только нормальные силы, касательные же силы отсутствуют. Это означает, что идеальная жидкость не оказывает изменению формы никакого внутреннего сопротивления. В реальных жидкостях между отдельными слоями внутри самой жидкости, а также между жидкостью и поверхностью обтекаемого тела действуют не только нормальные, но и касательные силы. Эти касательные силы (силы трения) обусловлены вязкостью.

В идеальной жидкости происходит скольжение жидкости вдоль стенки, в реальной жидкости вследствие вязкости на обтекаемую твердую стенку передаются касательные силы, и это приводит к тому, что жидкость прилипает к стенке.

Рассмотрим показанное на рис.2.1 течение жидкости между двумя очень длинными параллельными плоскими пластинами, из которых одна, например нижняя, неподвижна, а вторая движется в собственной плоскости с постоянной скоростью U.

Обозначим расстояние между пластинами через h и предположим, что давление во всем пространстве, занимаемом жидкостью, постоянно.

Опыт показывает, что жидкость прилипает к обеим пластинам, следовательно, непосредственно около нижней пластины скорость жидкости равна нулю, а непосредственно около верхней пластины она совпадает со скоростью U верхней пластины. В пространстве между пластинами распределение скоростей жидкости линейно, т.е. скорость течения пропорциональна расстоянию y от нижней пластины:

. (2.9)

Для того чтобы существовало такое состояние движения, к жидкости со стороны верхней пластины должна быть приложена касательная сила в направлении движения, уравновешивающая силы трения жидкости. Опыт показывает, что эта сила пропорциональна площади поверхности пластины, скорости U и обратно пропорциональна расстоянию h между пластинами. Следовательно, касательное напряжение t, т.е. сила трения, отнесенная к единице площади поверхности, пропорциональна отношению , вместо которого в общем случае можно взять отношение . Отсюда получаем закон трения вязкой жидкости, называемый законом трения Ньютона:

. (2.10)

Коэффициент пропорциональности m зависит от природы жидкости, т.е. представляет собой физическую характеристику жидкости. Величину m называют динамическим коэффициентом вязкости или молекулярной вязкостью. Размерность динамического коэффициента вязкости определяется из выражения:

. (2.11)

.

Иногда используют кинематический коэффициент вязкости

, (2.12)

где r - плотность жидкости. Размерность n равна

.

Коэффициенты вязкости сильно зависят от температуры жидкости и почти не зависят от давления. На рис.2.2 и рис.2.3 показано влияние температуры на вязкость воды и воздуха.

У капельных жидкостей с увеличением температуры вязкость снижается. При этом из-за практически неизменной плотности влияние температуры на коэффициенты динамической и кинематической вязкости сказывается почти одинаково.

Вязкость газов с ростом температуры увеличивается, причем из-за снижения плотности коэффициент кинематической вязкости растет быстрее.

Наличие внутреннего трения, обусловленного вязкостью жидкости, приводит к процессу диссипации (рассеяния) энергии. Сущность процесса диссипации состоит в том, что часть механической энергии движущейся жидкости переходит в тепловую и вызывает ее нагревание. Если вязкость жидкости или скорость течения невелики, то нагревание будет незначительным.

Лекция 3. ЗАКОНЫ РАВНОВЕСИЯ ЖИДКОСТИ

Силы, действующие в жидкости

Как и всякая механика, гидрогазомеханика разделяется на три основных раздела: статика, кинематика и динамика. Гидростатикой называется раздел гидрогазодинамики, в котором рассматривается равновесие жидкостей и газов, а также твердых тел, полностью или частично погруженных в жидкость.

Можно различать два вида сил, которые действуют на вещество в целом. К первому относятся силы дальнего действия, которые медленно убывают с увеличением расстояния между взаимодействующими элементами. Такими силами являются сила тяжести и сила инерции. Эти силы проникают внутрь жидкости и воздействуют на все ее элементы одинаковым образом. Полная сила, действующая на элемент жидкости, пропорциональна величине объема этого элемента. Поэтому силы дальнего действия называют объемными или массовыми.

В гидродинамике принято относить либо к единице массы, либо к единице объема жидкости. Если выделить в жидкости элементарный объем dW, то на него будет действовать массовая сила

, (3.1)

где а – ускорение.

Любая массовая сила, отнесенная к массе объема, равна ускорению. Относительная сила тяжести равна ускорению свободного падения g.

Ко второму виду относятся силы близкого действия, непосредственно связанные с молекулярным строением вещества. Эти силы существенны только в том случае, если расстояние между взаимодействующими элементами сопоставимо с расстоянием между их молекулами, и быстро убывают при увеличении расстояния. Таким образом, эти силы могут действовать только на тонкий слой, который примыкает к границе элемента жидкости. Поэтому силы близкого действия определяются площадью поверхности элемента, на который они действуют, и не зависят непосредственно от объема элемента. Эти силы называются поверхностными. В гидродинамике поверхностные силы принято относить к величине поверхности элемента жидкости. Поверхностную силу, действующую на единицу поверхности, называют напряжением.

Поверхностные силы можно разложить на две составляющие: нормальную (нормальное напряжение или давление) и касательную (касательное напряжение).

В покоящейся жидкости имеются только нормальные напряжения, определяемые давлением в жидкости. В движущейся жидкости имеются и нормальные, и касательные напряжения, определяемые силами трения.

Так как силы сопротивления разрыву в жидкости ничтожно малы, то в жидкости нормальные напряжения всегда проявляются в виде сжимающих усилий, растягивающие напряжения отсутствуют.

В системе СИ силу измеряют в ньютонах, размерность напряжения и давления . Иногда используют внесистемную единицу . На практике часто пользуются единицей измерения давления, называемой технической атмосферой и равной Физическая атмосфера равна 760 мм рт.ст. Для измерения небольших перепадов давления применяют U-образные водяные дифференциальные манометры, в которых давление представляется в мм вод.ст. Эти единицы связаны между собой следующими соотношениями:

1 мм вод.ст. = 9,8 Па ; 1 атм = 0,98 бар = 98000 Па.

Манометры, т.е. приборы, применяемые для измерения давлений, обычно измеряют разность (перепад) давлений между давлением в контролируемой точке и атмосферным давлением Р_атм. В таком случае результат измерения представляет собой избыточное давление Р_изб. В технической системе МКГСС давление измеряется в атмосферах. Для обозначения избыточного давления используется специальная единица – «атмосфера избыточная – ати».

Полное или так называемое абсолютное давление Р_абс представляет собой сумму избыточного и атмосферного давлений

.

Так как атмосферное давление близко к 1 кгс/см², то в технических расчетах обычно принимают

.

В контролируемой точке давление жидкости или газа может быть меньше атмосферного. В таком случае разность между атмосферным давлением и давлением в точке называется разрежением или вакуумом.

.

Для измерений вакуума применяются специальные приборы – вакуумметры.

Гидростатическое давление

В гидростатике рассматривают жидкость, находящуюся в покое. Основным понятием гидростатики является понятие гидростатического давления.

Рассмотрим произвольный объем покоящейся жидкости (рис.2.1). Если этот объем рассечь произвольно выбранной плоскостью и мысленно отбросить одну часть, то для сохранения равновесия оставшейся части необходимо к площадке S приложить каким-то образом распределенные силы, эквивалентные действию отброшенной части на оставшуюся часть. Пусть сила Р представляет собой равнодействующую всех сил, приложенных к различным точкам площадки S.

Гидростатическим давлением в данной точке называется предел отношения силы давления покоящейся жидкости Р к площади ее действия S при величине площадки, стремящейся к нулю, т. е.

. (3.2)

Гидростатическое давление обладает двумя основными свойствами:

1. Гидростатическое давление действует нормально к площадке и является сжимающим, т. е. оно направлено внутрь того объема жидкости, давление на который рассматриваем.

2. Гидростатическое давление в любой точке жидкости не зависит от ориентировки площадки, на которую оно действует, т. е. гидростатическое давление действует одинаково по всем направлениям.

Дифференциальные уравнения равновесия жидкости

Выделим в жидкости элементарный параллелепипед со сторонами dx, dy, dz (Рис. 3.2). Предположим, что в центре этого элемента в точке А действует гидростатическое давление р, а на весь элемент действуют также массовые силы, причем на единицу массы действует сила .

Для равновесия элемента жидкости необходимо, чтобы результирующая всех действующих на него сил была равна нулю. Так как силы являются векторами, то это условие можно представить в виде: необходимо, чтобы суммы проекции сил на координатные оси были равны нулю.

Рассмотрим условие равновесия выделенного объема по оси Х. Так как в жидкости возможны только сжимающие усилия, то слева на элемент по направлению оси Х действует сила давления , справа на элемент напротив направления оси Х действует сила , а проекция массовой силы на ось Х равна .

Равновесие элемента по оси Х достигается при выполнении условия

(3.3)

или

,

откуда имеем

. (3.4)

Проведя подобный анализ сил, действующих по направлению осей Y и Z, получим систему уравнений

(3.5)

Эти уравнения впервые были выведены Эйлером в 1755 г. и называются уравнениями равновесия Эйлера. Они показывают, что при равновесии массовые силы уравновешиваются соответствующими поверхностными силами.

2.3. Уравнение поверхности равного давления

Умножим уравнения системы (2.5) соответственно на dx, dy, dz и сложим. Получим

. (3.6)

Так как гидростатическое давление является лишь функцией координат точек x,y,z, то левая часть уравнения (2.6) представляет собой полный дифференциал и может быть обозначена через dp, т.е.

. (3.7)

Поверхность, в каждой точке которой давление постоянно, называют поверхностью уровня. Для такой поверхности справедливы условия:

р = сonst, dp = 0.

Уравнение плоскости равных давлений имеет вид

. (3.8)

Свободные поверхности жидкости являются поверхностями равного давления.

Рассмотрим наиболее часто встречающийся случай, когда покоящаяся жидкость заключена в сосуде и находится под воздействием только сил тяжести. В таких условиях массовой силой является сила тяжести, проекция которой по оси Z равна ускорению свободного падения

, (3.9)

а проекции массовых сил по осям X и Y равны нулю. Знак минус в равенстве обусловлен тем, что ось Z направлена вертикально вверх, а сила тяжести вниз. Гидростатическое давление становится функцией только координаты z:

. (3.10)

Из (2.5) имеем

. (3.11)

Разделяя переменные и интегрируя, получим

, (3.12)

где С – постоянная интегрирования.

Представим уравнение (2.12) в виде

. (3.13)

Выражение (2.13) называется основным уравнением гидростатики. Оно позволяет определить давление на глубине h от поверхности.

Допустим, как показано на рис.3.3, на свободной поверхности жидкости действует давление p₀.

Для открытых водоемов p₀.является атмосферным давлением. Для этой поверхности глубина погружения z₀=0. Из (3.13) следует, что для глубины погружения h₁ справедливо соотношение

,

откуда

. (3.14)

Из (3.14) следует, что давление в любой точке покоящейся жидкости равно внешнему давлению, сложенному с весом столба жидкости высотой от поверхности до данной точки и с площадью основания, равной единице.

Соответственно на глубине h₂ будет давление

,

а разность давлений в точках h₂ и h₁ составит

. (3.15)

В том случае, если изменится давление на поверхности на Dр₀