Электропроводность металлов.

Теория Друде на уровне элементарных молекулярно-кинетических представлений обосновывает закон Ома. Рассмотрим закон Ома для однородного участка цепи в дифференциальной форме:

, (1)

- электропроводность, - плотность тока, - напряженность электрического поля. Вспомним, что величина - плотность потока электрического заряда

(2)

где - объёмная плотность электрического заряда, - объёмная концентрация носителей заряда, - вектор средней скорости направленного движения носителей заряда, в рассматриваемом случае – электронов. В отсутствие напряженности электрического поля величина обращается в нуль (хотя хаотическое тепловое движение электронов продолжает иметь место). Для случая величина и направлена противоположно полю. Эту скорость можно рассчитать следующим образом. Пусть t – время, прошедшее с момента последнего соударения электрона с рассеивающим центром. Мгновенная скорость электрона в момент времени t равна:

(3)

Из-за «хаотичности» начальной скорости ее вклад в среднюю скорость частицы равен нулю. Линейный характер зависимости скорости от времени (3) приводит к тому, что за описываемый промежуток времени средняя скорость движения оказывается равной скорости для момента времени . При осреднении мгновенной скорости направленного движения электронов полагают, что характерное время движения между соударениями (с постоянной скоростью)

cовпадает со временем релаксации :

. (4)

Учитывая зависимости (1), (2) и (4), получим выражение для проводимости :

(5)

Заметим, что по Ланжевену из соотношения (4) следует выражение для «подвижности» электронов проводимости в металле:

. (6)

Если по экспериментальным данным для удельного электрического сопротивления среды оценить величину для металлов, она оказывается величиной порядка 10^-14 – 10^-15 с. Оценить длину свободного пробега можно соотношением

, (7)

а значение можно получить из классического закона распределения энергии молекул по степеням свободы

(8)

где k – постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура металла. Из зависимости (8) при комнатной температуре получаем , а .

Значение величины l удивительно совпало с возможными значениями межатомных расстояний в твёрдом теле... Вроде бы теория Друде «правильно» описала механизм рассеяния электронов... На самом деле картина рассеяния имеет более сложную природу. И эксперимент не свидетельствует в пользу теории Друде: при достаточно низких температурах на тщательно приготовленных образцах можно получить , т.е. 10⁸ (сто миллионов!) межатомных расстояний.

Итак, если бы мы знали величину параметра , то зависимость (5) решала бы проблему расчета величины . Вместе с тем, результаты теории Друде, не содержащие время релаксации , оказываются количественно верными.

Теория Друде объясняет физическую природу закона Джоуля-Ленца следующим образом. При каждом «соударении» с рассеивающим центром электрон полностью передает этому центру энергию

(9)

За единицу времени происходит таких соударений. А если учесть, что в единице объема содержится n электронов, то получим, в единице объема кристаллической решетки металла за единицу времени выделяется энергия, равная

. (10)

Заметим, что величина объёмной плотности тока определялась величиной средней скорости направленного движения электронов между соударениями, величина удельного тепловыделения – максимальной скоростью направленного движения электронов между соударениями.

Соотношение (10) обосновывает дифференциальную форму закона Джоуля-Ленца в рамках молекулярно-кинетических представлений.

Теория Друде впервые объяснила природу эмпирического закона Видемана и Франца, установленного ещё в 1853 г., в котором утверждалось, что отношение коэффициента теплопроводности к коэффициенту электропроводности (т.е. электрической проводимости) для большинства металлов является величиной, прямо пропорциональной абсолютной температуре, причем коэффициент пропорциональности приблизительно одинаков. Из элементарной молекулярно-кинетической теории газов известно выражение для коэффициента теплопроводности

, (11)

где - средний квадрат скорости электрона, - длина свободного пробега, - объёмная плотность, - масса электрона, - теплоёмкость при постоянном объёме в расчёте на единицу массы. Разделим приведенное выражение на коэффициент электропроводности среды (5):

(12)

Заметим, что полученное соотношение не зависит от времени релаксации и в силу этого может оказаться достаточно эффективным. В рамках классических представлений - это теплоёмкость электронного газа при постоянном объёме в пересчёте на один электрон, - средняя энергия теплового движения электрона. Это даёт возможность записать следующие соотношения:

(13)

В окончательной форме получаем соотношение:

(14)

где - число Лоренца. По приведенной формуле число Лоренца получается примерно в два раза меньше, чем следует из совокупности экспериментальных данных. Сам Друде при расчете величины электропроводности среды ошибся в два раза, поэтому рассчитанное им значение числа Лоренца «совпало» с экспериментом на удивление точно. Триумф теории Друде способствовал всестороннему её анализу и расширению сферы её применения. В самом начале XX века А. Зоммерфельдом (1868-1951) была предпринята попытка разработать электронную теорию металлов с последовательным использованием максвелловского распределения электронов по скоростям. Вскоре выяснилось, что электронная теплоемкость металлов приблизительно в сто раз меньше, чем принятая в теории Друде, а средний квадрат скорости электронов приблизительно в сто раз больше. Этим объясняется удивительное совпадение отдельных результатов теории Друде с результатами экспериментальных исследований. Но в целом классическая статистическая теория оказалась неприменимой к описанию электронного газа в металлах. Электроны в металлах обладают специфическими квантовыми свойствами и подчиняются квантовой статистике Ферми-Дирака.

8.4.2. Эффект Холла.

Для наших целей наибольший интерес представляют два случая: расчет электропроводности при наличии пространственно-однородного постоянного магнитного поля (эффект Холла) и при наличии пространственного однородного, но переменного во времени электрического поля.

Перед началом рассмотрения этих случаев обсудим уравнение второго закона Ньютона для среднего значения импульса электрона

(1)

Смысл уравнения (1) состоит в следующем. Величина - осредненная внешняя сила, действующая на электрон. Величина является количественной мерой отклонения системы от состояния равновесия. В равновесных условиях величина равна нулю (это основное условие хаотичности движения электронов). Каждая устойчивая система стремится к состоянию равновесия со скоростью, пропорциональной (в нулевом приближении) величине этого отклонения. Таким образом, уравнение (1) представляет собой типичное уравнение релаксационного процесса.

Пусть по проводнику вдоль оси х (рис.1) течет электрический ток с плотностью j_x под действием напряжённости электрического поля (на рисунке не показана) при наличии поперечного магнитного поля , т.е. направленного вдоль оси z. Под влиянием силы Лоренца, действующей на каждую заряженную частицу, возникают компоненты напряженности электрического поля E_y и плотности тока _. Уравнение (1) для движения электронов в металле принимает вид

. (2)

Для установившегося режима средний импульс электрона не зависит от времени, поэтому:

, (3)

, (4)

где

. (5)

Умножая уравнения (3) и (4) на выражение и учитывая определение плотности тока

(6)

получаем

(7)

(8)

. (9)

Поле Холла E_y определяется условием j_y=0. Из уравнения (8) при этом следует:

(10)

Следовательно, для коэффициента Холла получаем

. (11)

Результат (11) примечателен тем, что коэффициент Холла не зависит ни от каких параметров металла, кроме объемной плотности носителей заряда. Для многих металлов соотношение (11) имеет экспериментальное подтверждение, хотя в отдельных случаях расхождение довольно значительное. Для полупроводников по знаку постоянной Холла судят о природе основных носителей электрического заряда в полупроводнике и относят его к р-типу (носитель - положительные «дырки») или n-типу (носитель - электроны с отрицательным электрическим зарядом).