Напряжённость и потенциал электростатического поля внутри и снаружи проводника.

В проводниках электрический заряд может изменять своё местоположение, двигаться. С движением электрического заряда связано понятие электрического тока. Говорят, что проводник «проводит электрический ток». В условиях электростатики электрический ток и электрический заряд в объёме проводника равны нулю, элементарные электрические заряды неподвижно располагаются на наружной поверхности проводника. Если бы в каком-либо малом объёме проводника конечного объёма оказалась бы совокупность элементарных электрических зарядов одного знака, эти заряды (неустойчивое состояние) под действием сил взаимного отталкивания переместились бы на наружную поверхность проводника и перераспределились бы по его наружной поверхности таким образом, чтобы оказалось реализованным новое устойчивое распределение электрического заряда.

В 1813 г. Пуассон установил, что когда заряженный проводник имеет форму сфероида, сила отталкивания, действующая на небольшое тело с электрическим зарядом того же знака, которое находится у поверхности проводника, будет направлена под прямым углом к поверхности сфероида и пропорциональна «толщине поверхностного слоя электричества в этом месте». Пуассон предположил, что это утверждение справедливо в общем случае произвольной поверхности проводника. Сегодня мы бы сказали, что напряжённость электростатического поля вблизи поверхности проводника перпендикулярна поверхности проводника (силовые линии напряжённости электростатического поля перпендикулярны поверхности проводника в непосредственной близости от неё) и пропорциональна поверхностной плотности электрического заряда на поверхности проводника. Эквивалентное утверждение состоит в том, что вблизи поверхности проводника обращается в нуль касательная составляющая вектора напряжённости электростатического поля. Последнее может служить обоснованием утверждения, что потенциал электростатического поля на поверхности проводника должен быть постоянным: поверхность проводника является одной из семейства эквипотенциальных поверхностей электростатического поля:

,

где S – поверхность проводника, индексом n помечено направление внешней нормали к поверхности проводника. Первое из приведённых соотношений является следствием известного условия «скачка», которому должны удовлетворять нормальные к поверхности раздела сред компоненты вектора напряжённости электростатического поля при переходе через поверхность, когда в «первой области» напряжённость электростатического поля равна нулю. Напряженность электростатического поля внутри проводника действительно обращается в нуль: внутри проводника нет электрических зарядов, потенциал электростатического поля удовлетворяет уравнению Лапласа и принимает постоянное значение на поверхности проводника, по принципу максимума это значение потенциал должен иметь в любой точке внутри объёма проводника, а градиент постоянной величины тождественно обращается в нуль.

Когда несколько проводников находятся рядом друг с другом, распределение поверхностной плотности электрического заряда по их поверхностям можно определить, следуя принципу Пуассона:

В любой точке, находящейся в внутри любого из проводников, результирующая сила действия всех без исключения поверхностных слоёв на сосредоточенный электрический заряд (т.е. суммарная напряженность электростатического поля) должна равняться нулю.

Пуассон впервые строго решил задачу о взаимодействии двух проводящих заряженных сфер разного радиуса, удаленных на произвольное расстояние друг от друга. Случай соприкасающихся сфер тоже был рассмотрен Пуассоном. Решение этих задач было получено Пуассоном в форме определенных интегралов. Пуассон вычислил возможную погрешность метода Кулона в его опытах из-за того, что Кулон не знал, каким образом распределены заряды по проводящим поверхностям взаимодействующих шариков.

Заметим, что как только распределение электрического заряда по поверхности проводника установлено, для расчета потенциала и напряженности электростатического поля можно использовать принцип суперпозиции, применение которого описано выше. Это даёт возможность рассчитывать силовое взаимодействие проводников конечных размеров.

Общая задача электростатики состоит в отыскании потенциала как функции пространственных переменных, эта функция должна удовлетворять уравнению Лапласа вне любого из проводников (в вакууме и изотропной однородной диэлектрической среде) и принимать постоянные значения на поверхности любого из проводников. С использованием потенциала находят вектор напряженности электростатического поля и распределение поверхностных зарядов по поверхностям проводников. Интегрируя распределение поверхностной плотности электрического заряда по площади поверхности каждого проводника, получают величину электрического заряда этого проводника. В реальных условиях возможны три случая: - а) на всех поверхностях проводников заданы значения потенциалов, - б) на всех поверхностях проводников заданы величины электрических зарядов, - в) для части проводников известны величины потенциалов, для другой части – величины зарядов. Современный уровень развития математики и вычислительной физики позволяет решать перечисленные задачи.