Метод стрельбы (метод пристрелки)

Рассмотрим метод пристрелки на примере решения линейной краевой задачи (7.31), (7.32)

Если известны частное решение неоднородного уравнения и два линейно независимых решения однородного уравнения , то общее решение неоднородного дифференциального уравнения можно записать в виде

Постоянные C₁, C₂ можно определить из краевых условий (7.32).

В методе пристрелки используется следующий способ.

Сначала находят частное решение неоднородного уравнения , удовлетворяющее условию , и частное решение однородного уравнения , удовлетворяющее условию .

Затем общее решение неоднородного уравнения , удовлетворяющее условию записывают в виде . И тогда остается найти постоянную C из условия .

Приведем сеточный аналог метода пристрелки. Пусть краевая задача приведена к системе уравнений (7.34)

(7.41)

Найдем частные решения неоднородной (7.42) и однородной (7.43) систем уравнений:

(7.42)

(7.43)

Выбирая произвольные значения для (при этом должно быть ), находим из (7.42) и (7.43) формулы для вычисления частных решений:

(7.44)

(7.45)

Найдем C из условия и запишем решение:

(7.46)

(7.47)

Алгоритм метода пристрелки заключается в том, чтобы выбрать шаг h и выполнить последовательно вычисления по формулам (7.44) — (7.47).

Пример 7.8.Решить краевую задачу методом пристрелки

Решение в программе Excel.Выберем шаг h = 0,1. Используем файл программы Excel для примера 7.5 и внесем необходимые изменения, они понадобятся только в столбцах E, F и G. Результаты показаны в таблице 7.13.

В ячейках E5, E6, E7 соответственно запишем формулы

=a, =a+h, =(2+h^2*C7)*E6-E5+h^2*D7. Ячейку E7 маркером заполнения копируем вниз до E15.

Ячейке F5 присвоим нулевое значение, а в ячейки F6, F7 введём формулы =h, =(2+h^2*C7)*F6-F5. Ячейку F7 маркером заполнения копируем вниз до F15.

В ячейке F16 вычислим постоянную C с помощью формулы
=(b-E15)/F15. Ячейке F16 присвоим имя «сс».

Теперь можно вычислить значения решения. Вводим в ячейку G5 формулу =E5+cc*F5 и копируем G5 вниз до G15.

Вычислим в столбце I абсолютные ошибки. Введём в ячейку I5 формулу =ABS(H5-G5) и скопируем I5 вниз до ячейки I15.

Очевидно, что относительные ошибки приближенного решения меньше, чем 0,01.

Таблица 7.13