Удар абсолютно упругих и неупругих тел

Примером применения законов сохранения количества движения и энергии при решении реальной физической задачи является удар абсолютно упругих и неупругих тел.

Удар (или соударение) — это встреча двух или более тел, при которой взаимодействие длится очень короткое время. Исходя из данного определения, кроме явлений, которые можно отнести к ударам в прямом смысле этого слова (столкновения атомов или биллиардных шаров), сюда можно отнести и такие, как удар человека о землю при прыжке с трамвая и т. д. При ударе в телах возникают столь значительные внутренние силы, что внешними силами, действующими на них, можно пренебречь. Это позволяет рассматривать соударяющиеся тела как замкнутую систему и применять к ней законы сохранения.

Тела во время удара претерпевают деформацию. Сущность удара заключается в том, что кинетическая энергия относительного движения соударяющихся тел на короткое время преобразуется в энергию упругой деформации. Во время удара имеет место перераспределение энергии между соударяющимися телами. Наблюдения показывают, что относительная - скорость v' после удара не достигает своей прежней величины v. Это объясняется тем, что нет идеально упругих тел и идеально гладких поверхностей. Отношение нормальных составляющих относительной скорости после и до удара называется коэффициентом восстановления e:

Если для сталкивающихся тел e=0, то такие тела называются абсолютно неупругими, если e=1— абсолютно упругими. На практике для всех тел 0<e<1 (например, для стальных шаров e»0,56, для шаров из слоновой кости e»0,89, для свинца e»0). Однако в некоторых случаях тела можно с большой точностью рассматривать либо как абсолютно упругие, либо как абсолютно неупругие.

Прямая, проходящая через точку соприкосновения тел и нормальная к поверхности их соприкосновения, называется линией удара. Удар называется центральным, если тела до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры масс. Мы будем рассматривать только центральные абсолютно упругие и абсолютно неупругие удары.

Абсолютно упругий удар — столкновение двух тел, в результате которого в обоих взаимодействующих телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию. Для абсолютно упругого удара выполняются закон сохранения количества движения и закон сохранения кинетической энергии.

Обозначим скорости шаров массами m₁ и m₂ до удара через v₁ и v₂, после удара - через v^’₁ и v^’₂ (рис. 19). Так как удар центральный, то будем рассматривать модули величин. В данном случае направление движения первого тела будем считать положительным, второго — отрицательным. Законы сохранения имеют вид

(15.1)

Произведя соответствующие преобразования в выражениях (15.1) и (15.2), получим

, (15.3)

откуда

(15.5)

Решая уравнения (15.3), (15.4) и (15.5), находим

(15.6)

(15.7)

Для анализа полученных результатов разберем несколько примеров:
1) при V₂ = 0

(15.8)

(15.9)

Проанализируем выражения (15.8) и (15.9) для различных масс:

a) m₁ = m₂. Если второй шар до удара висел неподвижно (v₂ = 0) (рис. 20), то после удара остановится первый шар (v'₁ = 0), а второй будет двигаться с той же скоростью и в том же направлении, в котором двигался первый шар до удара ,

б) . Первый шар продолжает двигаться в том же направлении, как и до удара, но с меньшей скоростью Скорость второго шара после удара больше, чем скорость первого после удара (v'₂ > v'₁) (рис. 21);

в) . Направление движения первого шара при ударе изменяется — шар отскакивает обратно. Второй недр движется в ту же сторону, в которую двигался первый шар до удара, но с меньшей скоростью (рис. 22);

г) (например, столкновение со стеной). Из уравнений (15.8) и (15.9) следует, что ,

2) при Выражения (15.6) и (15.7) будут иметь вид , т. е. шары равной массы обмениваются скоростями.

Абсолютно неупругий удар — столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое. Продемонстрировать абсолютно неупругий удар можно с помощью шаров из пластилина (глины), движущихся навстречу друг другу (рис. 23).

Если массы тел m₁ и m₂, их скорости до удара v₁ и v₂, то, используя закон сохранения количества движения, можно записать , откуда

(15.10)

Если шары движутся навстречу друг другу, то они вместе будут продолжать двигаться в ту сторону, в которую двигался шар, обладающий большим количеством движения. В частном случае, если массы шаров равны (m₁= m₂), то

Выясним, как изменяется кинетическая энергия шаров при центральном абсолютно неупругом ударе. Так как в процессе соударения шаров между ними действуют силы, зависящие не от величины самих деформаций, а от скоростей деформаций, то мы имеем дело с силами, подобными силам трения, поэтому закон сохранения механической энергии не должен соблюдаться. Вследствие деформации происходит потеря кинетической энергии, перешедшей в тепловую или другие формы энергии. Эту потерю можно определить по разности кинетической энергии тел до и после удара:

Используя (15.10), получим

Если ударяемое тело было первоначально неподвижно , то

Когда m₂>>m₁ (масса неподвижного тела очень большая), то v<<v₁ и почти вся кинетическая энергия тела при ударе переходит в другие формы энергии. Поэтому для получения значительной деформации наковальня должна быть массивнее молотка. Наоборот, при забивании гвоздей масса молотка должна быть гораздо большей (m₁>>m₂), тогда v»v₁ и практически вся энергия удара затрачивается на возможно большее перемещение гвоздя после удара, а не на остаточную деформацию стены.

Абсолютно неупругий удар — пример того, как происходит потеря механической энергии под действием диссипативных сил.