Автоматизация построения математических моделей оптимизации.

В настоящее время методология математического моделирования интенсивно развивается, охватывая все новые сферы – от разработки больших технических систем и управления ими до анализа сложнейших экономических и социальных процессов, поднимая общий уровень теоретических исследований, давая возможность проводить их в более тесной связи с экспериментальными исследованиями.

Математическое моделирование может рассматриваться как новый общий способ исследования объектов реального мира ‑ метод познания, конструирования, проектирования, который сочетает в себе многие достоинства как теории, так и эксперимента [13]. Работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью дает возможность без ущерба для моделируемого объекта, относительно быстро и без существенных затрат исследовать его свойства и поведение в интересующих исследователя ситуациях. В то же время вычислительные (компьютерные, имитационные) эксперименты с моделями объектов позволяют, опираясь на мощь современных вычислительных методов и технических инструментов информатики, изучать объекты в достаточной полноте, недоступной чисто теоретическим подходам.

Математические модели применяются в системах поддержки принятия решений, позволяющих непрофессиональному пользователю компьютера использовать современные математические модели и методы при поиске оптимального решения[1].

Основу математического моделирования составляет триада модель ‑ алгоритм – программа [13]. Рассмотрим подробнее указанные компоненты. На первом этапе вычислительного эксперимента выбирается (или строится) модель исследуемого объекта, отражающая в математической форме важнейшие его свойства ‑ законы, которым он подчиняется, связи между его составляющими элементами, и т. д. Под моделью при этом понимается «"эквивалент" объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства - законы, которым он подчиняется, связи, присущие составляющим его частям, и т.д.» ([13], с.8). Математическая модель (ее основные фрагменты) исследуется традиционными аналитическими средствами вычислительной математики для получения предварительных (обычно качественных) знаний об объекте.

Второй этап связан с выбором (или разработкой) вычислительного алгоритма для реализации модели на компьютере. Необходимо получить искомые величины с заданной точностью на имеющейся вычислительной технике. Вычислительные алгоритмы должны не искажать основные свойства модели и, следовательно, исходного объекта, они должны быть адаптирующимися к особенностям решаемых задач и используемых вычислительных средств.

На третьем этапе создается программное обеспечение (решатель) для реализации модели и алгоритма на компьютере. Программный продукт должен учитывать специфику математического моделирования, связанную с использованием системы математических моделей, многовариантностью расчетов.

Таким образом, разработка программ, переводящих модель и алгоритм на понятный компьютеру язык, завершает создание рабочего инструмента исследователя.

Готовая триада тестируется в «пробных» экспериментах. На этом этапе посредством цепочки усложнений (иерархии все более полных моделей) обеспечивается ее адекватность. После этого можно переходить к «опытам», дающим все требуемые качественные и количественные свойства и характеристики объекта.

Само по себе построение моделей представляет собой «применение фундаментальных законов природы, вариационных принципов, аналогий, иерархических цепочек» ([13], с.11), а процесс построения моделей включает в себя следующие этапы ([13], c.25-26):

1. «Cловесно-смысловое описание объекта или явления» («формулировка предмодели»);

2. «Завершение идеализации объекта» и упрощение описания;

3. Переход «к выбору или формулировке закона (вариационного принципа, аналогии и т.п.)» и его записи в математической форме;

4. Завершает формулировку модели ее «оснащение» (задание начального состояния и параметров объекта). Этот этап особенно важен, поскольку: «...наконец, формулируется цель исследования модели ...»;

5. Модель изучается всеми доступными методами (в том числе с применением различных подходов и вычислительных методов);

6. В результате исследования математической модели достигается поставленная цель. При этом «должна быть установлена всеми возможными способами (сравнением с практикой, сопоставлением с другими подходами) ее адекватность ‑ соответствие объекту и сформулированным предположениям...».

Заметим, что описанные выше этапы 1-2 моделирования часто называются в литературе построением концептуальной модели[2]. Концептуальное моделирование определяет, анализирует и описывает необходимые понятия и ограничения области приложения с помощью некоторого (обычно диаграммного) языка моделирования, основанного на небольшом числе мета-понятий (образующим мета-модель). Цель концептуального моделирования ‑ сделать объекты реального мира доступными на абстрактном уровне, а также помочь исследователю в исключении не относящихся к делу структур путем построения отношений между идеализированными элементами, фокусируясь лишь на существенных связях. Концептуальная модель определяет структуру моделируемой системы, свойства ее элементов, связи между элементами, существенные для моделируемой системы (с точки зрения цели системы или цели моделирования). Как правило, разработка концептуальной модели производится перед разработкой более детализированной математический модели.

Опираясь на триаду модель - алгоритм - программа, исследователь получает в руки универсальный, гибкий и относительно недорогой инструмент, который вначале отлаживается, тестируется и калибруется на решении содержательного набора пробных задач. После этого проводится широкомасштабное исследование математической модели для получения необходимых качественных и количественных свойств и характеристик исследуемого объекта с помощью ычислительного эксперимента, который по своей природе имеет междисциплинарный характер. В совместных исследованиях участвуют специалисты в прикладной области, прикладной и вычислительной математике, по прикладному и системному программному обеспечению. Вычислительный эксперимент проводится с использованием самых разных методов и подходов.

Следует отметить эволюционный процесс «смены» парадигм моделирования. Первый этап моделирования характеризовался математической записью отдельных моделей реальных объектов. Для них характерна простота описаний, типична линейность уравнений и малая размерность (часто воспроизводится всего одна или две переменных). Методы анализа связаны в основном с получением аналитических решений.

Второй этап характеризуется попытками возможно более полного описания объектов реального мира, причем объект представлен в модели в виде большой или сложной системы, причем учитывается нелинейность зависимостей, возрастает размерность моделей, достигая нескольких десятков. При этом для записи моделей в компьютере и решения соответствующих задач вычислительной математики используются языки программирования. Чрезвычайно важную роль на этом этапе приобретает вычислительный эксперимент. В настоящее время начинается переход к третьему поколению математических моделей, в которых используются методы автоматизации формирования моделей и данных, возникают языки моделирования, существенно отличающиеся своей декларативной природой от обычных языков программирования.

В связи с вышеизложенным чрезвычайно актуальны вопросы автоматизации различных аспектов математического моделирования: выбора и построения моделей, записи моделей в форме, близкой к обычной математической записи, создание библиотек решателей[3].