ПРОЕКТИРОВАНИЕ КОМБИНАЦИОННЫХ СХЕМ

Законы логического мышления исследовались английским математиком Дж. Булем, который разработал метод проверки истинности определенных высказываний. Понятия истинности и ложности берут свое начало в исчислении высказываний, приводящем к современным методам проектирования с использованием таблиц истинности.

В Булевой алгебре определяется ряд операций, достаточно удобных для использования при логическом конструировании. Логику проектирования удобно представлять математическим аппаратом алгебры переключательных схем.

Булева алгебра

Булева алгебра основана Джорджем Булем (1815-1864 гг) и является с середины 30-х годов прошлого столетия основой для анализа цифровых логических схем. Булевой алгеброй называется непустое множество A с двумя бинарными операциями логического умножения (конъюнкция) и логического сложения (дизъюнкция), унарной операцией (отрицание) и двумя выделенными элементами: 0 (Ложь) и 1 (Истина). Основные равносильности Булевой алгебры представлены в табл.2.1. Использование следствий законов алгебры логики позволяет сократить (минимизировать) логические выражения.

Формальное описание работы схемы в виде Булева выражения позволяет построить логическую схему устройства, реализующего заданный алгоритм. Однако сложность минимизации, отсутствие наглядности и возможности контроля всех возможных вариантов реализации алгоритма привело к использованию таблиц истинности и карт Карно для формального описания работы комбинационных логических схем.

Таблица 2.1

Сводная таблица равносильностей Булевой алгебры

	коммутативность, переместительность
	ассоциативность, сочетательность
конъюнкция относительно дизъюнкции дизъюнкция относительно конъюнкции	дистрибутивность, распределительность
	комплементность, дополнительность (свойства отрицаний)
	законы де Моргана
	законы поглощения (склеивания)
	Блейка-Порецкого
	идемпотентность
	инволютивность отрицания, закон снятия двойного отрицания
	свойства констант
дополнение 0 есть 1 дополнение 1 есть 0
	склеивание

2.2 Использование таблиц истинности
для описания работы комбинационных логических схем

Таблицы истинности могут быть однозначно сопоставлены вербальным алгоритмам и приводившимся выше диаграммам. Если принадлежность произвольной точки прямоугольника множеству Y (или Z) считать «истиной» (с обозначением Т или 1), а противоположный случай – «ложью» (F или 0), то таблица истинности для операции И (конъюнкция) может быть изображена в виде табл. 2.2. Таблица истинности для операции ИЛИ (дизъюнкция) приведена в табл. 2.3.

Таблица 2.2 Таблица 2.3

Таблица истинности для операции И Таблица истинности для операции ИЛИ

В этих таблицах представлены четыре различные комбинации случаев принадлежности (или непринадлежности) точки множествам Y и Z.

Таблица истинности – наиболее полный формальный метод описания того, как работает логическая схема. Однако, описание работы схем с помощью таблиц истинности не только громоздко, но и, являясь первой ступенью синтеза любого цифрового устройства, не содержит описания его работы в минимальной форме, необходимой для облегчения анализа возможностей интегральных схем для конкретных приложений.

Для дальнейшего анализа и синтеза логической схемы необходимо преобразовать информацию в форме таблицы истинности в Булево выражение. Для записи в дизъюнктивно нормальной форме выделяются те комбинации переменных строки, которые дают логическую «1» на выходе. Аналогичным образом можно построить таблицу истинности по Булеву выражению.

Таблица истинности и Булево выражение по разному описывают принцип действия одной и той же логической схемы. Например, если имеется три датчика А, В и С, а включение электродвигателя или другого исполнительного устройства происходит при срабатывании датчиков В и С или датчика А, то формальное описание данного вербального условия работы можно представить в виде таблицы истинности для трех переменных (рис. 2.1), которому соответствует Булево выражение в нормально-дизъюнктивной форме

Рис.2.1. Таблица истинности для Булева выражения

Необходимо учитывать все возможные комбинации входов, которые дают логическую единицу в таблице истинности. Например, минимизированное Булево выражение дает не две, а три логических единицы для выходной функции Y в таблице истинности рис. 2.2.

Рис.2.2. Таблица истинности для Булева выражения

В другом примере требуется обеспечить управление исполнительным элементом Y так, чтобы он срабатывал при наличии сигналов от любых одного или двух из трех датчиков А, В, С. В данном случае формализация словесного алгоритма в виде таблицы истинности представлена на рис.2.3.

Рис.2.3. Формальное описание работы схемы по вербальному описанию
в виде таблицы истинности

Формальное описание в виде исходного Булева выражения в нормально-дизъюнктивной форме . Логическая схема для реализации вербального алгоритма в соответствии с исходным Булевым выражением будет иметь вид (рис.2.4).

Рис.2.4. Исходная логическая схема для реализации вербального алгоритма

Используя равносильности Булевой алгебры можно минимизировать исходную функцию Y_исх ,

Логическая схема для реализации вербального алгоритма в соответствии с минимизированным Булевым выражением будет иметь вид (рис.2.5). Минимизированная схема работает аналогично исходной, но при этом дешевле и имеет более высокую надежность.

Рис.2.5. Минимизированная логическая схема для реализации вербального алгоритма

Если пронумеровать строки таблицы истинности в соответствии с десятичным значением соответствующих двоичных кодов, то можно записать условие работы схемы в виде набора номеров строк, где выходная функция принимает значение 1. Например, функция, записанная в виде Y=∑ (3, 5, 6, 9, 10, 12), может быть представлена соответствующей таблицей истинности (рис.2.6).

Рис.2.6. Таблица истинности

Формальное описание в виде исходного Булева выражения в нормально-дизъюнктивной форме будет иметь вид:

.

Полученное Булево выражение может быть минимизировано с использованием свойств и аксиом Булевой алгебры и реализовано в виде логической схемы.