Утверждающе-отрицающий и отрицающе-утверж-дающий модусы

Утверждающе-отрицающим модусом именуются следующие схе­мы рассуждения: Либо А, либо В. А. Следовательно, не-В и, либо А, либо В. В. Следовательно, не-А.

Посредством этих схем от утверждения двух взаимоисключа­ющих альтернатив и установления того, какая из них имеет место, осуществляется переход к отрицанию второй альтернативы: либо первое, либо второе, но не оба вместе; есть первое; значит, нет второго. Например:

Лермонтов родился в Москве, либо в Петербурге.

Он родился в Москве.

Неверно, что Лермонтов родился в Петербурге.

Связка «либо, либо», входящая в утверждающе-отрицающий модус, является исключающей, она означает: истинно первое или истинно второе, но не оба вместе. Такое же рассуждение, но с неисключающим «или» (имеет место первое или второе, но возможно, что и первое и второе) логически неправильно. От истинных посылок оно может вести к ложному заключению. Например:

На Южном полюсе был Амундсен или был Скотт.

На Южном полюсе был Амундсен.

Неверно, что там был Скотт.

Отрицающе-утверждающим модусом называется разделительно-ка­тегорическое умозаключение: первое или второе; не-первое; значит, второе. Первая посылка – высказывание с «или»; вторая – категориче­ское высказывание, отрицающее один из членов первого сложного высказывания; заключением является второй член этого высказывания: А или В. Не-А. Следовательно, В и А или В. Не-В. Следовательно, А.

Например:

Множество является конечным или оно бесконечно.

Множество не является конечным.

Множество бесконечно.

7. Конструктивная и деструктивная дилеммы.

Дилеммами называются рассуждения, посылками которых являются по меньшей мере два условных высказывания (высказывания с «если, то») и одно разделительное высказывание (высказывание с «или»). Выделяются:

а) простая конструктивная (утверждающая) дилемма:

Если А, то С, если В, то С; А или В.Следовательно, С

Рассуждение этого типа в математике принято называть до­казательством по случаям. Однако число случаев, перебираемых последовательно в математическом доказательстве, обычно превышает два, так что дилемма приобретает вид:

Если бы было справедливо первое допущение, теорема была бы верна; при справедливости второго допущения теорема также была бы верна; при верном третьем допущении теорема верна; справедливо или первое, или второе, или третье допущение. Значит, теорема верна.

б) сложная конструктивная дилемма:Если А, то В. Если С, то Д. А или С. Следовательно, В или Д. («Если будет дождь, мы пойдем в кино; если будет холодно, пойдем в театр; будет дождь или будет холодно; следовательно, мы пойдем в кино или пойдем в театр»).

в) простая деструктивная (отрицающая) дилемма:Если А, то В. Если А, то С.

Неверно В или неверно С. Следовательно, неверно А. ( «Если число делится на 6, то оно делится на 3; если число делится на 6, то оно делится на 2; рассматриваемое число не делится на 2 или не делится на 3; следовательно, число не делится на 6»).

г)сложная деструктивная дилемма:Если А, то В. Если С, то Д. Не-В или не-Д.

Следовательно, Не-А или не-С. ( «Если поеду на север, то попаду в Тверь; если поеду на юг, то попаду в Тулу; но не буду в Твери или не буду в Туле; следовательно, не поеду на север или не поеду на юг»).

8. Закон Клавия –если из отрицания некоторого высказывания вытекает само это высказывание, то оно является истинным.Или, короче: высказывание, вытекающее из своего соб­ственного отрицания, истинно. (Если неверно, что А, то А. А.)

Закон Клавия лежит в основе рекомендации: если хочешь доказать А, выводи А из допущения, что верным является не-А. (Например, – Стало быть, по-вашему, убеждений нет? – Нет – и не существует. Это ваше убеждение? – Да. – Как же вы говорите, что их нет? Вот вам уже одно на первый случай).