Искажение расстояний

Из чертежа (рис.3.3) имеем:

. (3.14)

На основании (3.10) можем записать:

Полагая, что отрезок на рис.3.3 равен единице, получим

(3.15)

Подставляя эти значения в (3.14), найдем увеличение масштаба в произвольном направлении

(3.16)

Теперь попытаемся найти зависимость увеличения масштаба С от искаженного направления . На основании (3.10) можем записать:

Возведя эти равенства в квадрат, и сложив их, получим:

.

и окончательно

. (3.17)

Искажение площадей

Пусть бесконечно малый кружок изобразится на карте бесконечно малым эллипсом (рис.3.4)

Рис. 3.4

Соответственно, прямоугольник изобразится параллелограммом .

По определению, масштаб площадей равен отношению бесконечно малой фигуры на карте к площади этой же фигуры на глобусе, т.е.

.

Но

, (3.18)

где - главный масштаб карты;

и - увеличения на эллипсе вдоль меридиана и параллели.

Сделав подстановку, получим масштаб площадей:

.

Увеличением площадей называют отношение масштаба площади к квадрату главного масштаба.

. (3.19)

Если полуоси эллипса искажений совпадают направлениями параллели и меридиана в данной точке, то , и увеличение площадей будет:

. (3.20)