Искажение направлений и углов

Для определения искажение направлений и углов в зависимости от параметров и примем главные направления в кружке и эллипсе за оси прямоугольных координат (рис. 3.3).

Рис. 3.3

Возьмем произвольное направление на поверхности и соответствующее ему направление на плоскости, отсчитываемые по ходу часовой стрелки от положительного направления оси х.

Очевидно, разность будет искажением направления при переносе на плоскость. Искажение это определяется формулой:

.

Из (3.7) следует, что искажение направления зависит от суммы . Наибольшее искажение будет, когда =1, т.е. =90. Само же искажение обозначим:

. (3.8)

Из (3.7) и (3.8) следует:

. (3.9)

Найдем зависимость направлений и от параметров эллипса искажений. Из выражения (3.6) и рис.3.3 можно записать:

Откуда следует:

(3.10)

Разделив в (3.10) второе выражение на первое, найдем:

. (3.11)

Так как по условию =90, то

, .

Подставляя поочередно эти равенства в (3.11), получим

, .

Тогда, умножая первое выражение на , второе на , получим

(3.12)

Таким образом, в эллипсе искажений будет четыре направления, симметричных относительно большой полуоси , которые искажаются максимально.

Всякий угол представляет собой разность двух направлений. Если угол составлен из двух наиболее искажаемых направлений, то наибольшее искажение такого угла будет равно удвоенному наибольшему искажению направления. Исходя из (3.9) и учитывая малость угла , можем записать:

.

При и близких к единице, . В результате будем иметь:

. (3.13)