КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ПРИ ПЛОСКОМ ДВИЖЕНИИ

Рассмотрим, как вычислить кинетическую энергию тела, если оно одновременно участвует в поступательном и вращательном движении – например, качение колеса по плоскости.

Как мы знаем, при плоском движении тела скорость некоторой точки тела определяется формулой

(4.26)

где - скорость поступательного движения точки «0», принятой за начало отсчета для ,

- радиус-вектор частицы с массой по отношению к точке «0». Тогда кинетическая энергия i-той частицы

(4.27)

Учтем, что модуль , - расстояние i-той точки до оси вращения и, соответственно . Воспользовавшись циклической перестановкой сомножителей в смешенном произведении, получим .

Тогда из (4.27) получим:

(4.28)

А для кинетической энергии всего тела

(4.29)

Теперь учтем, что

, , а .

Тогда

(4.30)

Если в качестве «0» взять центр масс, то , и

(4.31)

Таким образом, если рассматривать вращение тела относительно оси, проходящей через центр масс, то его кинетическая энергия распадается на два слагаемых. Одно из них описывает кинетическую энергию, обусловленную поступательным движением, другое – вращательным.

ГИРОСКОПЫ.

Гироскопом называют массивное симметричное тело, вращающееся с БОЛЬШОЙ УГЛОВОЙ СКОРОСТЬЮ вокруг оси симметрии.

В этом случае момент импульса гироскопа . Если мы будем поворачивать ось гироскопа с некоторой в пространстве, то , вообще говоря, не совпадает с осью гироскопа. Однако обычно и можно считать, что направлен по оси гироскопа.

При попытках повернуть ось гироскопа возникает гироскопический эффект: под действием сил, стремящихся повернуть ось гироскопа вокруг оси декартовой системы координат, гироскоп поворачивается вокруг оси .

Такое поведение объясняется законами динамики вращательного движения. Действительно момент пары сил, , направленных вдоль , направлен параллельно . Под действием этого момента сил момент импульса гироскопа за время получает приращение направленное вдоль . Следовательно, ось гироскопа приблизится к направлению – .

Если момент будет продолжать действовать, то ось гироскопа будет поворачиваться, приближаясь к направлению момента сил до тех пор, пока эти направления не совпадут. Дальней шее действие этого момента сил будет приводить только к увеличению момента импульса по модулю.

Гироскопический эффект лежит в основе действия гирокомпаса, который представляет собой гироскоп, точки опоры которого закреплены так, что гироскоп может поворачиваться вокруг вертикальной оси. На раскрученный гироскоп через точки опоры действует момент сил, вовлекающий его в суточное вращение Земли. При длительном воздействии этого момента, ось гироскопа устанавливается параллельно оси вращения Земли, т.е. в меридиональной плоскости, и позволяет определить направление на географический (!) полюс.

Если гироскоп находится в поле силы тяжести и его ось составляет с вертикалью угол , то к гироскопу оказывается приложенным момент сил . Он создается силой тяжести , которая приложена к центру масс гироскопа и реакцией опоры , действующей в точке опоры . Раскрученный гироскоп не падает, как «юла»! Поэтому эти силы равны и противоположны по направлению. Момент сил направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат силы и момент импульса гироскопа в некоторый исходный момент времени. Если расстояние от точки опоры до центра масс гироскопа равно , то модуль этого момента сил

(4.32)

Под действием момента сил момент импульса гироскопа получит приращение , а ось гироскопа за повернется на угол . Следовательно, ось гироскопа будет совершать вращательное движение вокруг вертикали с угловой скоростью:

(4.33)

Такое движение называется прецессией. Соотношение (4.33) дает угловую скорость прецессии. Очевидно, что чем больше момент импульса гироскопа , т.е. чем с большей угловой скоростью он вращается вокруг своей оси, тем меньше будет угловая скорость прецессии. (Вспомните процесс остановки «юлы».)