Третий признак сравнения.

Пусть и - знакоположительные числовые ряды. Если с некоторого номера N выполняется условие , то из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости ряда следует расходимость .

Теорема (признак Даламбера). Если в ряде с положительными членами отношение n+1-го члена ряда n -му при n имеет конечный предел q, т.е.

,=q, то: - ряд сходится в случае при q<1, - ряд расходится в случае q>1.
В случаях, когда предел не существует или он равен единице, ответа на вопрос о сходимости или расходимости числового ряда теорема не дает. Необходимо провести дополнительное исследование.

Решение примеров

Пример 1. Исследовать сходимость ряда

Решение.

Найдём предел отношение члена ряда к :

Так как значение предела больше единицы, то следует, что исходный ряд расходится.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда по признаку Даламбера.

Решение.

Найдём предел отношение члена ряда к :

= = . Так как значение предела меньше единицы значит ряд сходится.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда:

Решение. Составим предел отношение = после сокращения останется выражение = .

Имеем 0 Следовательно, данный ряд сходится.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда:

Решение. Составим формулу признака сходимости Даламбера:q= =

n

= = = == т.е. q>1. Следовательно, исходный ряд расходится.

Пример 5. Исследовать сходимость ряда: .

Решение.

Запишем формулу Даламбера достаточное условие сходимости знакоположительного ряда:

q= после сокращения и перехода к предельному значению n , получим q=

Ответ: Исходный ряд сходится.