Модель сплошной среды

Жидкостью называется сплошная среда, обладающая способностью легко изменять свою форму под действием внешних сил.

В физике жидкость трактуется как физическое тело, обладающее текучестью и не имеющее своей формы, но принимающее форму сосуда, в котором оно находится. Текучестью называется способность жидкости изменять свою форму под действием даже небольших сил, при этом не дробясь на части. Легкотекучесть частиц жидкости обусловлена неспособностью ее воспринимать касательные напряжения в состоянии покоя.

По своим механическим свойствам жидкости разделяют на два класса:

1. Малосжимаемые (капельные).

2. Сжимаемые (газообразные).

Основной отличительной особенностью капельных и газообразных жидкостей является способность сжиматься (изменять объем) под воздействием внешних сил. Капельные жидкости (в дальнейшем просто жидкости) трудно поддаются сжатию, а газообразные жидкости (газы) сжимаются довольно легко, т.е. при воздействии небольших усилий способны изменить свой объем в несколько раз (рис.1.1).

Рис.1.1. Сжатие жидкостей и газов

К капельным жидкостям относятся вода, масло, бензин и т.п. Эти жидкости способны образовывать капли. Они имеют собственный объем. Капельная жидкость, если ее объем меньше объема сосуда, всегда занимает только часть его. В этом случае она имеет поверхность раздела капельной жидкости с газом, называемую свободной поверхностью.

К газам относятся воздух, водород, углекислый газ и т.п. В отличие от капельных жидкостей газы распространяются по всему объему сосуда.

В механике жидкости и газа законы, справедливые для капельных жидкостей, применимы и к газам, когда сжимаемостью газа можно пренебречь.

Для удобства введены термины:

· «капельная жидкость» (малосжимаемая);

· «сжимаемая жидкость» (газ);

· «жидкость» (охватывающая как капельную жидкость, так и газ).

Таким образом, под жидкостью в механике жидкости и газа подразумевается всякая среда, обладающая текучестью.

При изучении законов равновесия и движения жидкости в прикладной механике жидкостей и газов движение молекул не изучается и жидкость рассматривается в виде сплошной среды, способной деформироваться под действием внешних сил.

Жидкость как всякое физическое тело имеет молекулярное строение. Расстояние между молекулами во много раз превосходит размеры самих молекул и соответствует от 10^-7 до 10^-8 см, а длина свободного пробега молекул газа при атмосферном давлении равна 10^-5 см. Из-за того, что эти расстояния весьма малы, в достаточно малом объеме находится огромное количество молекул. Например, в одном кубическом сантиметре воздуха при обычных условиях содержится 2,687·10¹⁹ молекул. Поэтому жидкости и газы воспринимаются как сплошные среды, несмотря на то, что имеют прерывистую структуру.

Это обстоятельство позволяет ввести гипотезу сплошности: жидкость состоит из отдельных частиц, но их много в любом существенном для нас объеме, поэтому жидкость можно приближенно рассматривать как среду, заполняющую пространство сплошным образом.

Гипотеза о непрерывности или сплошности среды упрощает исследование, так как позволяет рассматривать механические характеристики жидкой среды (скорость, плотность, давление и т.д.) как непрерывные функции координат точки в пространстве и во времени и использовать математический аппарат непрерывных функций, дифференциальное и интегральное исчисления.

Согласно гипотезе сплошности масса среды распределена в объеме непрерывно и в общем случае неравномерно.

1.2. Плотность жидкости

Основной динамической характеристикой среды является плотность распределения массы по объему или просто плотность среды, которая в произвольной точке определяется соотношением:

, (1.1)

где – масса, заключенная в малом объеме , включая точку .

Размерность плотности

,

где – размерность массы; – размерность длины.

Единицей измерения плотности в системе СИ является кг/м³.

Наряду с плотностью в технических расчетах применяется удельный вес.

Вес жидкости G=Mg, приходящийся на единицу объема , называется удельным весом:

. (1.2)

Размерность удельного веса .

Единица измерения удельного веса в системе СИ - H/м³.

Удельный вес – векторная величина. Он не является параметром вещества, его значение зависит от ускорения свободного падения в пункте определения.

Удельный вес и плотность жидкости связаны следующим соотношением:

, (1.3)

где – ускорение свободного падения, принимаемое обычно равным 9,81 м/с².

1.3. Сжимаемость жидкости

Сжимаемость жидкости под действием давления характеризуется коэффициентом объемного сжатия , , представляющим собой относительное изменение объема жидкости на единицу изменения давления при постоянной температуре:

, (1.5)

где – первоначальный объем жидкости; – изменение этого объема при изменении давления на величину .

Знак «минус» в формуле (1.5) обусловлен тем, что положительному приращению давления соответствует отрицательное приращение объема .

Другое (тождественное) определение коэффициента объемного сжатия - это относительное изменение плотности жидкости на единицу изменения давления

, (1.5а)

Величина, обратная коэффициенту объемного сжатия, называется модулем объемной упругости жидкости :

. (1.6)

Для капельных жидкостей сжимаемость чрезвычайно мала. Так, например, для воды , т.е. повышение давления на 0,1 МПа вызывает относительное изменение плотности на 1/20 000. То же самое имеет место и для других капельных жидкостей, что позволяет пренебречь для них сжимаемостью.

Для воздуха в нормальном состоянии . Таким образом, сжимаемость воздуха в 20 000 раз больше сжимаемости воды. Аналогичное соотношение имеет место и для других газов.

Однако главным является не способность газа сжиматься, а то, насколько он в действительности сжимается в рассматриваемом течении. Для значительного сжатия газа необходимо значительное изменение давления. Если при движении газа возникают разности давления, небольшие по сравнению с его абсолютным давлением, то изменения объема получаются малыми, и такие потоки газа в первом приближении можно считать несжимаемыми.

Значительные изменения давления возникают при больших скоростях течения. Между сжимаемыми и несжимаемыми газами нет резкой границы. Обычно считают, что если скорость газа меньше четвертой части скорости звука, то к газам допустимо применять законы движения и теплоотдачи, полученные для несжимаемой жидкости.

1.4. Температурное расширение жидкостей

Температурное расширение жидкостей характеризуется коэффициентом температурного расширения , ^о :

, (1.8)

где – изменение этого объема при повышении температуры на величину при постоянном давлении.

Через относительное изменение плотности коэффициент температурного расширения выражается следующим образом

, (1.8а)

Для капельных жидкостей коэффициент температурного расширения сравнительно мал. Для некоторых жидкостей, например для воды при t < 4 C, коэффициент может иметь отрицательное значение.

Для идеального газа коэффициент температурного расширения есть величина обратная абсолютной температуре газа

В неравномерно нагретой жидкости вследствие теплового расширения возникает неоднородное поле плотности, что в конечном итоге может привести к свободному движению (естественной конвекции/циркуляции).

При температуре от 10 до 20 ^оС и давлении 10⁵ Па можно приближенно принимать ^оС^-1.

Если приближенно считать, что плотность не зависит от давления, а определяется только температурой, то, с учетом выражения для плотности и формулы (1.8), получим

, (1.9)

где – температура жидкости при нормальных условиях.

Зависимость плотности от температуры широко используется для создания естественной циркуляции в отопительных системах, для удаления продуктов сгорания и т.д.

1.5. Вязкость жидкости

Вязкость характеризует способность жидкостей воспринимать касательные усилия (силы трения).

Все реальные жидкости обладают вязкостью; между частицами или слоями, движущимися с различными скоростями, вследствие молекулярного движения возникает сила внутреннего трения. Молекулы жидкости пересекают слои жидкости, движущиеся по отношению друг к другу с относительной скоростью, и происходит обмен импульсом между слоями. При этом слои жидкости, движущиеся быстрее, увлекают за собой слои жидкости, движущиеся медленнее, и, наоборот, слои жидкости, движущиеся медленнее, тормозят движение слоев, движущихся быстрее.

Еще Ньютон установил опытным путем, что при скольжении друг относительно друга двух параллельных плоскостей, пространство между которыми заполнено жидкостью, силы вязкого трения препятствуют этому скольжению (рис. 1.2). Так, при движении со скоростью V верхней плоскости с площадью S относительно нижней, возникает сила вязкого трения, направленная против движения и равная

, (1.9)

Эта сила пропорциональна площади S и изменению скорости на единицу длины в поперечном направлении V/h (градиенту скорости в направлении перпендикулярном движению) и зависит также от вязкости жидкости ( - динамический коэффициент вязкости или просто динамическая вязкость).

Рис. 1.2.

Формула (1.9) справедлива, если расстояние h между пластинами значительно меньше их линейных размеров . Важно отметить, что частицы жидкости, прилегающие к верхней пластине, движутся вместе с нею со скоростью V (увлекаются пластиной). Напротив, частицы жидкости вблизи нижней (неподвижной) пластины находятся в покое (прилипают к пластине). Если мысленно разбить жидкость на параллельные плоские слои, движущиеся равномерно, то нетрудно понять, что каждый вышележащий слой увлекает за собой нижний соседний слой с силой . В свою очередь, этот нижний слой тормозит движение верхнего слоя с силой, численно равной . На каждый слой действует сверху и снизу две равные, но противоположные силы. Скорость слоев нарастает линейно с их высотой (рис. 1.3), а сила трения передается от одному слоя к другому. Как результат, усилие , приложенное к верхней пластине, передается на нижнюю пластину.

Рис. 1.3.

Между слоями жидкости, движущимися со скоростями, отличающимися друг от друга на величину , возникает касательное напряжение (напряжение - сила на единицу площади):

. (1.10)

Размерность динамического коэффициента вязкости .

Единица измерения .

Отношение динамической вязкости к плотности называется кинематической вязкостью жидкости:

. (1.11)

Размерность .

Единица измерения .

Коэффициенты и являются физическими параметрами. Они существенно зависят от температуры.

У капельных жидкостей вязкость почти не зависит от давления, но значительно уменьшается при повышении температуры, рис.1.4.

Рис.1.4 Зависимость динамического коэффициента вязкости воды от температуры

У газов увеличивается при повышении температуры, рис.1.5. При увеличении давления динамический коэффициент вязкости газов также увеличивается, но слабо.

Рис.1.5 Зависимость динамического и кинематического коэффициентов вязкости воздуха от температуры при давлении 0,1 МПа

Кинематическая вязкость капельных жидкостей уменьшается при повышении температуры почти в такой же степени, как и , так как плотность слабо зависит от температуры. Напротив у газов, плотность которых при повышении температуры сильно уменьшается, кинематическая вязкость при увеличении температуры быстро повышается, рис.1.5.

При течении жидкости или газа, обладающих вязкостью, наличие внутреннего трения приводит к процессу диссипации (рассеяния) энергии. Часть кинетической энергии движущейся жидкости необратимо переходит в теплоту и вызывает нагревание жидкости. Если вязкость жидкости или ее скорость невелики, то нагревание будет незначительным. В дальнейшем в основном будут рассматриваться процессы для которых выделяемая теплота трения незначительна, и ею можно пренебречь.

Кроме обычных (ньютоновских) жидкостей, характеризующихся зависимостью (1.10), существуют аномальные жидкости, к которым относятся коллоидные растворы, смазочные масла, нефтепродукты. У таких жидкостей (неньютоновских) вязкость не только является функцией состояния вещества, но и зависит от параметров процесса - от изменения скорости и температуры.

1.6. Теплопроводность жидкости

Теплопроводность представляет собой физическую величину, определяющую способность тел проводить тепло. Теплопроводность зависит от природы вещества, его структуры, температуры и других факторов.

Коэффициент теплопроводности представляет собой коэффициент пропорциональности в законе Фурье

(1.12)

- плотность теплового потока, Вт/м²; - температура, К.

равен количеству теплоты, которое проходит в единицу времени через единицу изотермической поверхности при температурном градиенте, равном единице.

Размерность .

Единица измерения .

Теплопроводность жидкостей меняется в диапазоне от 0,06 до 0,7 (рис. 1.6). С увеличением температуры теплопроводность у всех жидкостей, за исключением воды и глицерина, уменьшается.

Теплопроводность газов примерно меняется в диапазоне от 0,006 до 0,1 ⋅ (рис. 1.7). Исключение составляют водород и гелий, теплопроводность которых в 5 – 10 раз выше, чем у остальных газов.

Рис.1.5 Изменение теплопроводности жидкостей в зависимости от температуры: вазелиновое масло – 1; бензол – 2; ацетон – 3; касторовое масло – 4; этиловый спирт – 5; метиловый спирт – 6; глицерин – 7; вода - 8	Рис.1.6 Зависимость теплопроводности от температуры некоторых газообразных веществ: водяной пар – 1; углекислый газ – 2; воздух – 3; аргон – 4; кислород – 5; азот - 6

1.7. Поверхностное натяжение

Поверхностное натяжение обусловливается силами взаимного притяжения молекул поверхностного слоя, стремящихся сократить свободную поверхность жидкости.

Поверхностное натяжение имеет двойной физический смысл — энергетический (термодинамический) и силовой (механический). Энергетическое (термодинамическое) определение: поверхностное натяжение — это удельная работа увеличения поверхности при её растяжении при условии постоянства температуры. Силовое (механическое) определение: поверхностное натяжение — это сила, действующая на единицу длины линии, которая ограничивает поверхность жидкости.

Сила поверхностного натяжения направлена по касательной к поверхности жидкости, перпендикулярно к участку контура, на который она действует и пропорциональна длине этого участка. Коэффициент пропорциональности — сила, приходящаяся на единицу длины контура — называется коэффициентом поверхностного натяжения. Он измеряется в ньютонах на метр.

Другое определение коэффициента поверхностного натяжения - энергия, затрачиваемая на разрыв единицы поверхности. В этом случае его размерность записывается как [Дж/ м²].

Благодаря действию сил поверхностного натяжения жидкость, имеющая криволинейную свободную поверхность, испытывает дополнительное усилие, увеличивающее или уменьшающее давление в жидкости на величину (формула Лапласа)

- коэффициент поверхностного натяжения, и - главные радиусы кривизны рассматриваемого элемента поверхности.

Увеличение давления происходит в тех случаях, когда поверхность жидкости выпукла, а уменьшение - поверхность жидкости вогнута. Благодаря изменению давления, вызванному поверхностным натяжением, возникает явление капиллярности. Капиллярностью называется свойство жидкости подниматься или опускаться в трубках малого диаметра под действием дополнительного давления, вызванного силами поверхностного натяжения.

Подъем жидкости происходит в трубке, поверхность которой смачивается жидкостью (например, вода-стекло), опускание - в трубке, поверхность которой жидкостью не смачивается (например, ртуть-стекло).

Размерность .

Единица измерения .

Поверхностное натяжение жидкостей на границе с воздухом

С увеличением температуры величина поверхностного натяжения уменьшается и равна нулю при критической температуре.

2. ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ И ДИНАМИКИ ЖИДКОСТИ

2.1. Основные понятия и определения кинематики

и динамики жидкости

Кинематика жидкости изучает связь между геометрическими характеристиками движения и времени (скоростью и ускорением).

Динамика жидкости (или гидродинамика) изучает законы движения жидкости как результат действия сил.

Классификация видов движения жидкости основана на ряде признаков.

По характеру протекания процесса:

1. Неустановившееся движение жидкости – движение, изменяющееся во времени, т.е. скорость и давление в данной точке изменяются с течением времени. Иллюстрацией неустановившегося движения жидкости может быть истечение из резервуара при его опорожнении.

2. Установившееся движение жидкости – это такое, при котором в любой точке пространства скорость и давление не изменяются ни по направлению, ни по величине.

Установившееся движение может быть равномерным и неравномерным.

Равномерным движением называется такое, при котором скорости в сходственных точках двух смежных сечений равны между собой, а траектории частиц – прямолинейны и параллельны оси ox, т.е. поле скоростей не изменяется вниз по течению.

Ускорение частиц жидкости при этом равно нулю. В символической форме это условие можно записать означает тот или иной параметр, например скорость, глубину , путь , ускорение .

Неравномерное движение – это движение, не удовлетворяющее определению равномерного движения, т.е.

Равномерное и неравномерное движение может быть напорным и безнапорным. При напорном жидкость соприкасается с твердой стенкой по всему периметру своего сечения (трубопроводы и т.п.), а при безнапорном – лишь по части периметра (реки, открытые каналы, лотки)

При поступательном движении частиц жидкости наблюдается их вращательное движение. Такое движение называется вихревым.

Поступательное движение в направлении одной координаты называется одномерным движением жидкости.

– установившееся одномерное движение жидкости;

– неустановившееся одномерное движение жидкости.

Если параметры жидкости при движении изменяются в направлении двух координат, то движение называется двухмерным: или .

При изменении параметров жидкости по трем координатам движение называется трехмерным:

или

.

2.2. Гидравлические элементы потока

Живым сечением потока (м²) называется площадь поперечного сечения потока, нормального к направлению движения и ограниченного его внешним контуром. Например, живое сечение трубы - круг (рис.2.1, а); живое сечение клапана - кольцо с изменяющимся внутренним диаметром (рис.2.1, б).

Рис. 2.1. Живые сечения: а - трубы, б - клапана

Смоченным периметром ("хи") называется длина контура живого сечения, на которой жидкость соприкасается с твердыми стенками (рис.2.2, выделен утолщенной линией).

Рис. 2.2. Смоченный периметр

Для круглой трубы

(угол в радианах).

Гидравлическим радиусом называется отношение площади живого сечения потока к смоченному периметру :

.

2.3. Геометрические характеристики потока

Основными геометрическими характеристиками являются траектория, линия тока и линия отмеченных точек.

Траектория – линия, по которой движется некоторая частица .

Линия тока – кривая, проходящая через такие частицы, скорость которых в данный момент времени направлена по касательной к этой линии.

Чтобы представить линию тока, рассмотрим семейство движущихся частиц жидкости, расположенных вдоль потока на бесконечно малых расстояниях друг от друга, причем таким образом (рис.2.3), чтобы каждая последующая частица располагалась на направлении вектора скорости предыдущей частицы. В пределе при бесконечно большом количестве частиц, бесконечно близких друг к другу, они расположатся на линии, которая и будет линией тока, соответствующей моменту времени (рис.2.4).

Рис.2.3. Ломаная линия в пределе обращается в линию тока.

Рис.2.4. Скорость направлена по касательной к линии тока

Различие между линией тока и траекторией заключается в том, что на линии тока скорости различных частиц среды в данный момент времени направлены по касательным к ней, а на траектории скорость одной и той же частицы в разные моменты времени направлена по касательной к ней (рис. 2.5). При установившемся движении линии тока совпадают с траекториями.

Рис.2.5. Линия тока и траектория

Система линий тока характеризует направление течения потока в данный момент времени.

Для установившегося движения линия тока всегда совпадает с траекторией частиц, на ней расположенных.

Для неустановившегося движения линия тока в общем случае не является траекторией частиц, на ней расположенных, так как частицы на линиях тока находятся в общем случае лишь одно мгновение. В момент следующий за , эти частицы будут принадлежать уже другим линиям тока. Таким образом, при неустановившемся движении жидкости линии тока изменяют свою форму и расположение, а картина движения изменяется во времени.

При неустановившемся движении линия тока и траектория не совпадают друг с другом (рис.3.3).

Рис.3.3.

Две различные линии тока во всех случаях не пересекаются между собой. Так, полная скорость в точке , скорость (см. рис.3.3) направлены по касательной к линии и, следовательно, линия не является линией тока.

Линия отмеченных точек – линия, на которой в данный момент времени лежат частицы жидкости, прошедшие в свое время через одну и ту же начальную точку.

Иллюстрацией такой линии может служить линия расположения поплавков, последовательно выпущенных из одной и той же точки.

2.4. Трубка тока и элементарная струйка

Трубкой тока называется трубчатая поверхность бесконечно малого поперечного сечения, образованная системой линий тока, проходящих через точки бесконечно малого замкнутого контура (рис.2.6).

Рис.2.6

Жидкость, протекающая внутри этой трубки, называется элементарной струйкой. Элементарная струйка изолирована от окружающей массы жидкости. Очевидно, жидкость не может протекать через боковую поверхность трубки тока, так как на ней . Совокупность элементарных струек представляет собой поток конечных размеров. Струйная модель потока жидкости упрощает теоретические исследования движения жидкости.

Основные свойства элементарной струйки:

1. Скорость и площади сечений элементарной струйки могут меняться вдоль струйки, скорости же в пределах одного сечения элементарной струйки вследствие малости площадки одинаковы.

2. Жидкость не может протекать через боковую поверхность элементарной струйки, так как на основании определения линии тока в любой точке поверхности элементарной струйки скорость направлена по касательной к поверхности.

Объем жидкости, проходящей в единицу времени через данное поперечное сечение струйки, называется элементарным расходом.

За время (рис.2.7) все частицы из сечения 1-1 переместятся на расстояние в сечении 1-1. Здесь – скорость движения частиц. Объем жидкости между сечениями

.

Рис.2.7

За единицу времени проходит количество жидкости в объеме, равном:

. (3.1)

Единица измерения м³/с.

Массовый расход , кг/с.

Весовой расход .