РАСЧЕТ КОРОТКИХ ТРУБОПРОВОДОВ

Целью гидравлического расчета напорных трубопроводов чаще всего является определение потерь напора, то есть за­трат энергии на транспортировку жидкости по трубопрово­дам, а также вычисление расхода жидкости, подбор диамет­ров труб, определение давления, скорости, режима движения, шероховатости стенок труб, коэффициентов гидравлического трения и местных сопротивлений, построение пьезометриче­ской и напорной линий.

Короткими трубопроводами называются такие трубопро­воды, в которых местные потери напора соизмеримы с поте­рями напора по длине. Для таких трубопроводов приходится рассчитывать потери напора обоих видов, так как ни теми ни другими пренебречь нельзя.

В расчетах используются следующие основные формулы.

Уравнение Бернулли

(1)

Уравнение неразрывности

(2)

Формула Вейсбаха—Дарси

(3)

Формула Вейсбаха

(4)

(5)

В этих формулах:

z — геометрическая высота относительно плоскости срав­нения; р — гидродинамическое давление жидкости;

γ — вес единицы объема жидкости (объемный вес); v— средняя скорость жидкости в живом сечении; α — корректив кинетической энергии, который для при­ближенных расчетов можно считать равным единице; g — ускорение свободного падения; h_w — суммарная потеря напора на рассматриваемом участ­ке трубопровода; Q — расход жидкости; ω — площадь живого сечения потока (площадь внутренне­го поперечного сечения трубы); h_l — потеря напора по длине; λ — коэффициент гидравлического трения; l — длина рассматриваемого участка трубы; d — внутренний диаметр трубы; h_м — местная потеря напора; ζ— коэффициент местного сопротивления.

Для вычисления коэффициента гидравлического трения предложено много формул. Выбор какой-либо из них для рас­четов осуществляется по величине числа Рейнольдса

(6)

то есть в зависимости от режима движения жидкости и сте­пени турбулентности потока.

В формуле (6) v — кинематический коэффициент вязкости жидкости.

Для упрощения расчетов студентам рекомендуется при ре­шении задач, приведенных в данных методических указаниях, вычислять λпо формуле Прандтля — Никурадзе, если в усло­виях задач нет других указаний:

здесь Δ — шероховатость внутренних стенок труб.

Задача 1. Вода перетекает из левого резервуара в правый по прямому трубопроводу из стальных труб длиной 50 м и диаметром 100 мм (рис. 1*). Шероховатость стенок труб 0,2 мм. Уровни воды в резервуарах поддерживаются постоян­ными. Разность уровней Н = 2 м. Площадь свободной поверх­ности воды в резервуарах во много раз больше площади по­перечного сечения трубопровода.

* Рисунки даны в конце методических указаний.

1. Определить расход воды, перетекающей из одного ре­
зервуара в другой.

2. Построить напорную и пьезометрическую линии.

Определение расхода. Обычная методика опреде­ления расхода при расчете коротких трубопроводов заключа­ется в совместном решении уравнений (1) и (5) для опреде­ления средней скорости движения жидкости в трубопроводе. Зная скорость, легко вычислить расход по формуле (2).

Для применения уравнения Бернулли прежде всего надо выбрать плоскость сравнения и расчетные живые сечения по­тока таким образом, чтобы максимально упростить решение. Для этого надо стремиться к тому, чтобы как можно большее число членов уравнения Бернулли обратились в ноль. В рас­сматриваемой задаче проведем плоскость сравнения 0—0 на уровне воды в правом резервуаре, а в качестве расчетных жи­вых сечений 1 — 1 и 2—2 выберем свободные поверхности во­ды в резервуарах (см. рис. 1). При этом z₁ = Н, z₂ = 0.

Давление на свободной поверхности воды в открытых ре­зервуарах равно атмосферному давлению. Во всех случаях, когда нет необходимости определять абсолютное давление в рассчитываемой системе, удобнее вести расчет, используя величины избыточного давления. Избыточное давление на свободной поверхности жидкости в открытых резервуарах равно нулю. Следовательно,

В условиях задачи сказано, что площадь свободной по­верхности воды в резервуарах во много раз больше площади поперечного сечения трубопровода. При этом в обоих резер­вуарах скорости движения воды на свободной поверхности во много раз меньше скорости в трубопроводе, и потому их можно принимать равными нулю. Следовательно,

С учетом сказанного уравнение Бернулли в рас­сматриваемом случае принимает вид

Полученный результат имеет универсальное значение. При перетекании жидкости из одного открытого резервуара в дру­гой открытый резервуар в условиях установившегося движе­ния потери напора в соединительном трубопроводе (незави­симо от его конструкции) равны разности уровней жидкости в резервуарах.

Теперь воспользуемся формулами (5), (3) и (4). При вхо­де в трубопровод происходит местная потеря напора

При движении жидкости в прямой трубе с постоянными по длине диаметром и шероховатостью стенок возникают по­тери напора по длине

При выходе из трубы в правый резервуар поток встречает сопротивление воды, находящейся в резервуаре. Поэтому на выходе происходит местная потеря напора

Никаких других потерь напора при движении жидкости из левого резервуара в правый не возникает.. Следовательно,

Коэффициенты местного сопротивления = 1,0. Коэффициент внутреннего трения вычисляем по фор­муле (7):

Построение напорной линии. Для построения напорной линии необходимо вычислить в отдельности все со-

ставляющие суммарной потери напора h_w, то есть h_вх, h_l и h_вых. Но предварительно целесообразно определить скорост­ную высоту:

Сумма отдельных потерь напора h_w должна равняться 2 м. В данном случае 0,077 + 1,771 + 0,154 = 2,002 м, что свиде­тельствует о достаточной точности вычислений. Такую про­верку следует делать при решении всех задач рассматривае­мого типа. Величины отдельных потерь напора рекомендуется определять с точностью до третьего знака после запятой. В противном случае расхождения между суммой отдельных потерь напора и ранее вычисленной величиной h_w могут ока­заться одного порядка с некоторыми отдельными потерями напора, то есть точность расчетов будет неудовлетворитель­ной.

Выполнив указанную проверку, можно приступать к по­строению напорной линии, которая представляет собой гра­фик распределения напора по длине трубопровода. Прежде всего определим величину напора на входе в трубопровод, то есть вычислим напор относительно плоскости сравнения 0'—0', проведенной через центр тяжести входного сечения трубопровода (см. рис. 1). Согласно уравнению Бернулли, общее выражение напора

Вспомним, что мы рассматриваем достаточно большие ре­зервуары и потому считаем, что в их пределах v = 0. Следо­вательно, в левом резервуаре H₁= z₁’ + 0 + 0 = z₁'. Обратим внимание на то, что выражение H₁= z₁’ справедливо для лю­бой точки объема жидкости в резервуаре, если она располо­жена выше плоскости сравнения 0'—0'. Следовательно, в пре­делах левого резервуара напорная линия совпадает с линией свободной поверхности воды (см. рис. 1).

При входе в трубопровод напор скачкообразно уменьша­ется на величину местной потери напора h_BX. Поэтому откла­дываем на чертеже в плоскости входного сечения величину h_BX вниз от линии свободной поверхности. Войдя в трубу, по­ток имеет напор, равный H₁ – h_BX. Далее происходит потеря напора по длине, которая в конце трубы достигает величины h­_l. Согласно формуле (3), h_l прямо пропорциональна l. Сле­довательно, напор потока в трубе меняется по линейному за­кону, а напорная линия Н—Н — прямая. Для ее построения проводим горизонтальную линию на уровне H₁ —h_BX от вход­ного до выходного сечения трубы и в плоскости выходного сечения откладываем от этой линии вниз величину h_l. Полу­ченную точку соединяем прямой линией с нижней точкой от­резка h_BX на чертеже. Эта прямая является продолжением на­порной линии вдоль трубопровода.

В выходном сечении трубопровода происходит местная потеря напора h_вых, которую мы откладываем вниз от конеч­ной точки построенной части напорной линии. При этом, если вычисления и графические построения выполнены правильно, напорная линия должна выйти точно на уровень свободной поверхности в правом резервуаре, потому что в этом резер­вуаре, так же как и в левом, напорная линия совпадает с ли­нией свободной поверхности.

Очевидно, что построение напорной линии должно выпол­няться в том же вертикальном масштабе, что и чертеж ус­тановки.

Построение пьезометрической линии. Поня­тие пьезометрической линии можно выразить различными оп­ределениями. Во-первых, она представляет собой график из­менения потенциального напора по длине потока. В уравне­нии Бернулли потенциальный напор выражается суммой z + p/γ и обозначается H_п. Если вычесть Н_пиз полного напо­ра Н, получим

Следовательно, пьезометрическая линия на рис. 1 будет рас­полагаться ниже напорной линии Н—H на величину скорост­ной высоты v²/2g и выше плоскости сравнения на величину потенциального напора

В резервуарах скорости принимаются равными нулю. По­этому в них v²/2g = 0, и пьезометрическая линия совпадает с напорной.

В трубопроводе средняя скорость постоянна по длине. Следовательно, и v²/2g = const. Поэтому пьезометрическая

линия здесь параллельна напорной (см. рис. 1). Обратим вни­мание на то, что в конце трубопровода пьезометрическая ли­ния выходит на уровень воды в правом резервуаре, поскольку h_вых = v²/2g.

Второе определение пьезометрической линии: это линия, соединяющая уровни жидкости в пьезометрах. Согласно это­му определению, если в любом месте трубопровода на уровне его оси симметрии установить пьезометр (см. рис. 1), то вода из трубопровода поднимется по пьезометру до пьезометриче­ской линии. Высота подъема жидкости в пьезометре называ­ется пьезометрической высотой

где р_и — избыточное давление в том живом сечении потока и на том уровне, где находится нижний конец пьезо­метра.

Следовательно, третье определение пьезометрической ли­нии можно сформулировать так: это график распределения давления жидкости по длине трубопровода. Поэтому пьезо­метрическую линию можно использовать для определения давления в любом сечении трубопровода. Для этого следует измерить пьезометрическую высоту в интересующем нас сече­нии с учетом вертикального масштаба чертежа и умножить ее на γ. При этом, если пьезометрическая линия располагает­ся выше трубопровода, получим величину избыточного дав­ления

В заключение отметим, что на входе в трубопровод проис­ходит резкое понижение пьезометрической линии, то есть по­нижение давления жидкости или уменьшение ее потенциаль­ной энергии, которое обусловлено резким увеличением кине­тической энергии (скорость изменяется от 0до 1,74 м/с).

Задача 2.Вода из большого закрытого резервуара выте­кает в атмосферу через горизонтальный трубопровод, состав­ленный из труб разного диаметра (рис. 2). Уровень воды в резервуаре поддерживается постоянным. Он располагается выше центра входного отверстия трубопровода на Н_р = 5 м. На свободной поверхности воды в резервуаре действует избы­точное давление р₀ = 50 кПа. Длины и диаметры труб: l ₁ = = 15 м, l₂ = 20 м, l₃= 10 м, d₁ = 150 мм, d₂ = 300 мм, d₃ = = 100 мм. Шероховатость стенок труб Δ = 1 мм.

1. Определить расход воды.

2. Построить напорную и пьезометрическую линии.

Опредение расхода. Составляем уравнение Бернул-ли для расчетных сечений 1 — 1 (свободная поверхность воды в резервуаре) и 2—2 (выходное сечение трубопровода). Плос­кость сравнения 0—0 проводим на уровне оси симметрии тру­бопровода (см. рис. 2).

При этом для сечения 1 — 1 z₁= Н_р, p₁= р₀, v₁ = 0. Для сечения 2—2 z₂ = 0. В выходном сечении действует атмосфер­ное давление, то есть избыточное давление р₂ = 0. Вес еди­ницы объема воды γ = 9,81 кН/м³. В итоге уравнение Бернул-ли приобретает вид

Как видим, в отличие от задачи, рассмотренной выше, здесь не удалось сразу определить суммарную величину по­терь напора в трубопроводе. Запишем ее в виде суммы от­дельных потерь напора на основе уравнения (5):

Здесь v₁ , v₂, v₃ — средние скорости в соответствующих трубо­проводах;

ζ_р.р и ζ_р.с — коэффициенты местного сопротивления со­ответственно в резком расширении и в резком сужении трубы.

Эти коэффициенты вычисляются по формулам

где — площади поперечного сечения труб соответст-

венно выше и ниже по течению от местного со­противления.

Следует обратить внимание на то, что при использовании формулы (4) в нее подставляется величина скорости, которую поток приобретает после прохождения через местное сопро­тивление.

Чтобы решить систему уравнений (8) и (9), нужно вы­разить все скорости через одну из них. Для этого использует­ся уравнение неразрывности (2):

Вычисляем коэффициенты местного сопротивления:

затем коэффициенты гидравлического трения:

Теперь уравнение (9) можно переписать в следующем виде:

(10)

Получили два уравнения (8) и (10) с двумя неизвестны­ми. Решаем эту систему:

Заменяем v₃ на v₂:

Построение напорной линии. Напор на входе в трубопровод

Эту величину (потенциальный напор) можно представить се­бе наглядно как высоту поднятия уровня воды в пьезометре, подсоединенном к боковой стенке резервуара (см. рис. 2). Горизонтальная линия, проведенная на уровне воды в пьезо­метре, является напорной линией для воды в резервуаре, то есть началом искомой напорной линии.

Вычисляем скоростные напоры в трубах:

Для проверки правильности вычислений подставляем по­лученную сумму потерь напора в уравнение (8):

Следовательно, вычисления выполнены с удовлетворительной точностью и можно приступать к построению напорной ли­нии. Для этого проводим вертикальные линии через все попе­речные сечения трубопровода, в которых имеются местные со­противления, и строим напорную линию, пользуясь теми же приемами, которые подробно пояснены в предыдущей зада­че. Построенная напорная линия показана на рис. 2.

Следует обратить внимание на то, что напорная линия должна прийти в точку, которая располагается выше центра выходного сечения трубопровода на величину скоростной вы­соты v₃²/2g, поскольку напор потока в выходном сечении

Построение пьезометрической линии. Пье­зометрическая линия для воды, находящейся в резервуаре, как и в предыдущей задаче, совпадает с напорной линией, так как скоростная высота в резервуаре равна нулю (см. рис. 2). Для трубопроводов разного диаметра пьезометриче­ская линия параллельна напорной и располагается ниже нее на величину соответствующей скоростной высоты. Пьезомет­рическая линия приходит в центр выходного сечения трубо­провода, так как в этом сечении z = 0, р/γ = 0. На рис. 2 видно, что чем меньше диаметр трубопровода, тем больше ук­лон напорной линии (гидравлический уклон).

Задача 3. Центробежный насос забирает воду из колодца в количестве 42 л/с (рис. 3). Всасывающая труба насоса диа­метром 200 мм и длиной 30 м снабжена обратным клапаном с сеткой, который характеризуется коэффициентом местного сопротивления ζ_кл = 8. На расстоянии 20 м от обратного кла­пана труба имеет колено с коэффициентом местного сопро­тивления ζ_к = 0,2. Шероховатость стенок трубы равна 1 мм. Максимально допустимый вакуум во всасывающей трубе пе­ред входом в насос, выраженный в метрах водяного столба,

hвак = 5,5 м.

1. Определить максимально допустимую высоту располо­-жения оси насоса над уровнем воды в колодце.

2. Построить напорную и пьезометрическую линии.

Определение высоты насоса. Составим уравне­ние Бернулли для сечения 1—1, совпадающего со свободной поверхностью воды в колодце, и 2—2 перед входом в насос. Плоскость сравнения 0—0 проведем на уровне свободной по­верхности. В тех задачах, где приходится оперировать вели­чиной вакуума, в уравнение Бернулли следует вводить абсо-

лютные гидродинамические давления.­

(11)

Составляем выражение суммарной потери напора:

Допускаемая высота расположения насоса

Построение напорной и пьезометрической линий. Для построения напорной и пьезометрической линий, как и в задачах, рассмотренных выше, необходимо опреде­лить все потери напора в отдельности. Скоростной напор во всасывающей трубе уже вычислен

Для проверки правильности вычислений подставляем в уравнение (11) Σ h :

h_н= 5,409 — 1,155 = 4,254 м.

Получили практически полное совпадение с ранее вычис­ленной величиной h_H = 4,253 м. Теперь можно заняться по­строением напорной и пьезометрической линий.

Для большей наглядности построения присоединим к тру­бопроводу в сечении 2—2 пьезометр — вакуумметр (см. рис. 3). Уровень воды в нем установится ниже оси трубопро­вода на величину вакуума h_вак = 5,5 м. Очевидно, что пьезо­метрическая линия должна прийти на этот уровень в сече­нии 2—2.

Проведем вертикальные прямые через центр входного се­чения обратного клапана, через колено и сечение 2—2.

При рассмотрении первой задачи было установлено, что в открытом резервуаре напорная линия совпадает с линией свободной поверхности жидкости, которая в данной задаче является уровнем воды в колодце. В обратном клапане напор уменьшается на величину h_кл = 0,73 м. Откладываем эту ве­личину от уровня воды в колодце вниз по вертикали, прохо­дящей через центр входного сечения клапана (см. рис. 3). Далее проводим горизонтальную линию из нижней точки от­резка h_кл до пересечения с вертикалью, проведенной через ко­лено, и от точки пересечения откладываем вниз по вертикали величину h_l , ₂₀ (потерю напора в наклонной части всасываю­щей трубы) и т. д., как изложено в пояснениях к предыдущим задачам. Напорная линия должна прийти в точку на верти­кали, проходящей через сечение 2—2, которая находится вы­ше уровня воды в пьезометре на величину скоростного напо­ра v²/2g.

Пьезометрическая линия параллельна напорной и распо­лагается ниже нее на величину скоростного напора.

Из рис. 3 следует, что во всасывающей трубе по всей ее длине, исключая начальный участок, имеется вакуум, величи­на которого возрастает по направлению к насосу. Везде, где пьезометрическая линия располагается ниже трубопровода, расстояние от пьезометрической линии до оси трубопровода, взятое по вертикали, представляет собой вакуумметрическую высоту h_вак, по которой можно вычислить вакуумметрическое давление:

Там, где пьезометрическая линия располагается выше тру­бопровода, давление в нем выше атмосферного, то есть избы­точное.