Контактная разность потенциалов

Как уже отмечалось, распределение потенциала в p-n переходе находится из решения уравнения Пуассона. Максимальное значение потенциала, определяющего высоту потенциального барьера для равновесного состояния, равно контактной разности потенциалов (диаграмма 5 рис.2). Ее можно определить на основании следующих рассуждений.

Условие равновесия p-n перехода имеет вид .

Поскольку и диффузионная, и дрейфовая составляющие плотности тока определяются в основном соответствующими дырочными составляющими i_Dp и i_Ep, то условие равновесия можно приближенно записать:

или в развернутом виде .

Из последнего выражения с учетом E=dU/dx запишем

.

Преобразуя данную формулу, получим ,

или в общем виде .

Параметры дрейфового и диффузионного движения носителей заряда связаны между собой соотношениями Эйнштейна:

; .

В общем случае , где D - коэффициент диффузии, m- подвижность. Отсюда находим:

,

где j_T получил название температурного потенциала. Для комнатной температуры T = 300 К имеем: . Подставляя j_T , получим дифференциальное уравнение . Решение данного дифференциального уравнения в результате интегрирования в общем виде представляется соотношением

.

Для определения постоянной С необходимо знание граничных условий. В случае полупроводника p-типа граничные условия запишутся в виде p=p_p ; имеем j=j_p - потенциал работы выхода электрона из полупроводника p-типа: . Для полупроводника n-типа граничные условия имеют вид p=p_n , j=j_n - потенциал работы выхода электрона из полупроводника n-типа, . Отсюда контактная разность потенциалов запишется:

.

С учетом закона действующих масс для примесных полупроводников в случае полупроводника n-типа имеем p_n=n_i²/n_n»n_i²/N_Д, так как n_n=n_i+N_Д»N_Д , N_Д>>n_i.

В результате контактная разность потенциалов находится из выражения

,

так как p_p=n_i+Nа»Nа, Nа>>n_{i (} n_i=p_i ! ₎.

Окончательная формула для контактной разности потенциалов p-n перехода определяет ее зависимость от трех факторов:

j_к=f [материал полупроводника; Nпр; t°С].

Зависимость j_к от материала полупроводника определяется различным значением их ширины запрещенной зоны. Известно, что для германия - DWз=0,72эВ, n_i»10¹³см^-3; для кремния - DWз=1,12эВ, n_i»10¹⁰см^-3; для арсенида галлия - DWз=1,41эВ, n_i»10⁶см^-3. При внесении одинаковой концентрации примеси во все полупроводниковые материалы и изготовлении из них p-n переходов на основании формулы контактной разности потенциалов следует, что j_кGe<j_кSi<j_кGaAs, то есть, чем больше ширина запрещенной зоны полупроводника, тем больше контактная разность потенциалов. При комнатной температуре ориентировочные значения контактной разности потенциалов p-n переходов из различных полупроводниковых материалов составляют величины:

j_кGe=0,3¸0,4 В, j_кSi=0,6¸0,8 В, j_кGaAs=1,0¸1,2 В.

Степень легирования исходных полупроводников также влияет на значение контактной разности потенциалов. Чем больше степеньлегирования полупроводника, то есть чем больше вносится в полупроводник атомов примеси (Nпр – концентрация примеси), тем большее значение имеет контактная разность потенциалов.

Контактная разность потенциалов зависит от температуры окружающей среды. С увеличением температуры контактная разность потенциалов уменьшается. Это связано с тем, что в выражении для j_к с увеличением температуры окружающей среды возрастает значение температурного потенциала j_Т, но также возрастает и это увеличение происходит быстрее, чем рост температурного потенциала, поэтому контактная разность потенциалов при увеличении температуры уменьшается.

Задача 1

Имеется германиевый p-n переход с концентрацией примесей
N_Д=10³ Nа, причем на каждые 10⁸ атомов германия приходится один атом акцепторной примеси. Определить контактную разность потенциалов при температуре Т=300К. Концентрацию атомов германия N и собственную концентрацию носителей заряда n_i принять равными 4,4×10²² и 2,5×10¹³ см^-3 соответственно.

Решение

Концентрация акцепторных атомов Nа=N/10⁸=4,4×10²²/10⁸=
=4,4×10¹⁴см^-3. Концентрация атомов доноров N_Д=10³×Nа=4,4×10¹⁷см^-3. При Т=300К все атомы примеси ионизированы, поэтому контактная разность потенциалов

=0,0258×ln =0,326 В.

Задача 2

Удельное сопротивление p-области германиевого p-n перехода
r_р=2 Ом×см, а удельное сопротивление n-области r_n=1 Ом×см. Вычислить высоту потенциального барьера p-n перехода при Т=300К.

Справочные данные. Германий, Т=300К: подвижность дырок m_р=1800 см²/(В×с); подвижность электронов m_n=3800 см²/(В×с); равновесная концентрация носителей заряда n_i =2,5×10¹³см^-3.

Решение

Удельное сопротивление p-области полупроводника . Отсюда найдем концентрацию акцепторов в p-области:

.

Аналогично найдем концентрацию доноров в n-области полупроводника:

.

Считая примеси ионизированными, найдем высоту потенциального барьера p-n перехода:

=8,62×10^-5×300×ln =
=0,217 эВ.

Задача 3

В структуре с кремниевым p-n переходом удельная проводимость
p-области s_р=10⁴ См/м и удельная проводимость n-области s_n=10² См/м. Вычислить контактную разность потенциалов в переходе при Т=300К .

Справочные данные. Кремний, Т=300К: подвижность дырок
m_р=500 см²/(В×с); подвижность электронов m_n=1400 см²/(В×с); равновесная концентрация носителей заряда n_i =1,4×10¹⁰см^-3.

Решение

Для полупроводника p-типа . Отсюда найдем концентрацию дырок p_p (основные носители заряда для p-полупроводника):

=10⁴/(1,6×10^-19×0,05)=1,25×10²⁴ м^-3.

Аналогично найдем концентрацию электронов в n-области:

=100/(1,6×10^-19×0,14)=4,46×10²¹ м^-3.

Используя закон действующих масс, найдем концентрацию дырок в n-области:

= (1,4×10¹⁶)²/(4,46×10²¹)=4,39×10¹⁰ м^-3.

Контактная разность потенциалов

= =
=0,799=0,8 В.