Цифровые фильтры. Свойства Z-преобразования
Фильтрация является одним из видов обработки как аналоговых, так и цифровых сигналов, нашедших широчайшее применение во всех областях деятельности человека.
В телекоммуникационных приложениях фильтрация используется для ограничения спектра сигнала, для селекции сигналов, для режекции помех.
Цифровой фильтр выполняет те же функции, что и аналоговый, но отличается своей реализацией. В данной теме рассматриваются алгоритмы реализации цифровых фильтров, их анализ и синтез.
Математическим аппаратом цифровой фильтрации является Z – преобразование.
Поэтому сначала рассматриваются основные свойства Z - преобразования, основные характеристики цифровых фильтров, а затем вопросы их синтеза.
В данную тему входят следующие разделы:
2.1. Свойства Z-преобразования
2.2. Импульсная характеристика цифрового фильтра. Понятие о рекурсивных и
нерекурсивных цифровых фильтрах, БИХ- и КИХ-фильтрах
2.3. Определение выходного сигнала фильтра по входному сигналу и импульсной
характеристике
2.4. Системная функция цифрового фильтра. Формы программной реализации
Фильтра
2.5. Частотная характеристика цифрового фильтра
2.6. Цифровой резонатор
2.7. Однородный фильтр
2.8. Триангулярный фильтр
2.9. Нерекурсивный фильтр с линейной ФЧХ
2.10. Устойчивость цифровых фильтров
2.11. Коэффициенты системной функции устойчивого звена второго порядка
2.1. Свойства Z-преобразования
Прямым Z-преобразованием дискретной последовательности xn, где n = 0,1, 2.., называется функция комплексной переменной z, определяемая следующим соотношением
. (2.1)
Функция определена для тех значений z, при которых ряд сходится.
Здесь и в дальнейшем последовательность отсчётов обозначается строчной, а ее Z-преобразование той же прописной буквой.
Примеры определения Z-преобразований трех простых последовательностей приведены в таблице 2.1.
Таблица 2.1
Название последовательности | Последовательность | Z-преобразование последовательности |
Единичный отсчет | X(z)=1 при | |
Единичный скачок | ||
Показательная функция |
Соотношение (2.1) определяет одностороннее прямое Z – преобразование. Наряду с односторонним существует двухстороннее Z – преобразование, в котором суммирование начинается не от нуля, а от .
Обратное Z – преобразование определяется соотношением
Рассмотрим основные свойства прямого Z-преобразования.
1.Линейность. Пусть последовательность yn представляет взвешенную сумму двух последовательностей x1n и x2 n
,
где постоянные весовые коэффициенты.
Тогда Z-преобразование последовательности yn определяется следующим соотношением
. (2.2)
Таким образом, Z-преобразование взвешенной суммы двух последовательностей равно взвешенной сумме Z-преобразований этих последовательностей.
2.Сдвиг последовательностей. Пусть последовательность yn представляет собой сдвинутую (задержанную) на m отсчетов последовательность xn (рисунок 3.1)
.
Тогда Z-преобразование Y(z) последовательности yn выражается через Z-преобразование X(z) последовательности xn следующим образом
. (2.3)
Таким образом, Z-преобразование последовательности, сдвинутой относительно исходной на m отсчетов, равно Z-преобразованию исходной последовательности, умноженной на z –m.
Рисунок 2.1 – Последовательность yn сдвинута относительно xn
на 2 отсчета (2 интервала дискретизации)
3.Дискретная свертка двух последовательностей. Дискретной сверткой двух последовательностей xn и hn называется последовательность yn, определяемая следующим соотношением
. (2.4)
Z-преобразование Y(z) дискретной свертки yn двух последовательностей равно произведению Z -преобразований H(z) и X(z) исходных последовательностей hn и xn
, (2.5)
где .
2.2. Импульсная характеристика цифрового фильтра. Понятие о рекур
сивных и нерекурсивных цифровых фильтрах, БИХ- и КИХ-фильтрах
Цифровым фильтром дискретного сигнала называется линейная частотно-избирательная система, реализуемая на основе вычислительного устройства.
Пусть при действии на входе цифрового фильтра последовательности отсчетов xn на его выходе действует последовательность yn .
Если n-ый отсчет выходного сигнала фильтра yn зависит только от отсчетов входного сигнала в данный и предшествующие моменты дискретного времени xn, xn-1 ..и т.д., то такой фильтр называется нерекурсивным.
Если n-ый отсчет выходного сигнала фильтра yn зависит не только от отсчетов входного сигнала в данный и предшествующие моменты дискретного времени xn, xn-1 ..и т.д., но и от отсчетов выходного сигнала в предшествующие моменты времени, то такой фильтр называется рекурсивным.
Импульсной характеристикойцифрового фильтра называется выходной сигнал фильтра при действии на его входе единичного отсчета и нулевых начальных условиях.
На рисунке 2.2 показаны входной сигнал фильтра в виде единичного отсчета xn и реакция фильтра на этот сигнал – импульсная характеристика hn.
Фильтр с конечной импульсной характеристикой называется КИХ-фильтром (КИХ-конечная импульсная характеристика). Фильтр с бесконечной импульсной характеристикой называют БИХ-фильтром.
Рисунок 2.2 – Единичный отсчет xn и импульсная характеристика hn
2.3. Определение выходного сигнала фильтра по входному сигналу и
импульсной характеристике
Определение выходного сигнала цифрового фильтра по входному сигналу и импульсной характеристике основано на определении импульсной характеристики и принадлежности фильтра к линейным системам, для которых справедлив принцип суперпозиции.
На рисунке 2.3 приведен пример определения выходного сигнала фильтра в случае, когда входной сигнал xn содержит два отсчета x0 = 2 и x1= 2, а импульсная характеристика 3 отсчета: h0 = 1, h1=0.5, h2 = 0.25.
Сначала определим реакцию фильтра на отсчет x0, считая, что x1=0. Если бы вместо x0 действовал единичный отсчет, то выходным сигналом была бы импульсная характеристика.
Рисунок 2.3 – Определение выходного сигнала фильтра по входному сигналу и импульсной характеристике
Так как фильтр линейная система, то при входном отсчете в x0 раз больше единичного, выходной сигнал будет представлять собой импульсную характеристику, все отсчеты которой умножены на x0, - x0 hn.
Определим реакцию фильтра на отсчет сигнала x1 при x0 =0. При x1=1 выходной сигнал фильтра представлял бы собой импульсную характеристику, запаздывающую на один отсчет hn-1. При отсчете x1, отличном от единицы, реакцией фильтра будет запаздывающая на один отсчет импульсная характеристика, все отсчеты которой умножены на x1, - x1 hn-1.
Согласно принципу суперпозиции полученные реакции суммируются.
В результате
, , …..
В общем случае
(2.6)
Согласно последнему соотношению
Однако в рассмотренном примере x2 = 0, поэтому, как видно из рисунка,
В общем случае
В данном примере x2 = x3 = 0, h3 = 0, поэтому
Соотношение 2.6 представляет собой дискретную свертку последовательностей xn и hn, т.е. выходной сигнал фильтра представляет собой дискретную свертку входного сигнала и импульсной характеристики фильтра.
На рисунке 2.4 дано графическое представление дискретной свертки при конечной импульсной характеристике фильтра, содержащей N+1 отсчет. Из рисунка видно, что yn зависит только от отсчетов входного сигнала xn, xn-1, .. xn-N, следовательно, данный фильтр является нерекурсивным.
Рисунок 2.4 – Нерекурсивный цифровой фильтр
Лекция №5
2.4. Системная функция цифрового фильтра. Формы программной
реализации фильтра
Дата добавления: 2021-04-21; просмотров: 238;