Решение задач по теме

«Работа и мощность Законы сохранения»

При решении задач на определение работы силы необходимо:

сделать четкий рисунок, на котором указать все силы, действующие на тело;

установить, работу какой силы необходимо найти; если сила, работу которой необходимо найти, не задана, ее необходимо найти из второго уравнения динамики, записав его в проекциях на оси ОХ и ОУ;

найти величину перемещения (если оно не задано) из формул кинематики; •подставить величины силы и перемещения в формулу для определения работы и провести расчеты.

В начале решения задач на вычисления мощности необходимо: установить, какую мощность надо определить, среднюю или мгновенную; записать исходную формулу, взяв за скорость в первом случае среднюю скорость движения тела на данном промежутке пути, во втором – мгновенную;

сделать рисунок, указав на нем все силы, приложенные к телу, и кинематические характеристики движения;

составить основное уравнение динамики и найти силу тяги.

по формулам кинематики (при необходимости) найти среднюю или мгновенную скорости.

Применение закона сохранения энергии, который связывает исходное и конечное положения тел (системы тел), упрощает решение большинства задач, поскольку в этом случае не нужно рассматривать силы, которые действуют между телами. При решении задач по механике уравнение закона сохранения и превращения энергии вместе составляют основную систему уравнений.

Схему решения задач на составление уравнения закона сохранения энергии можно представить так:

1. Сделать четкий схематический рисунок и установить на нем начальное и конечное положение тела, движение которого рассматривается.

2. Записать основную формулу закона сохранения и превращения энергии 3. Выбрать нулевой уровень отсчета потенциальной энергии. Его можно взять произвольно, но лучше выбирать самое низкое положение, в котором находится тело при своем движении.

4. На рисунке проставить кинематические характеристики S и H (для положений 1 и 2) и определить механическую энергию тела в первом и втором положениях.

5. Для определения работы внешних сил необходимо проставить силы, которые действуют на тело в данной точке траектории (или произвольной).

6. Проставить выражения для определения механической энергии в первом и втором положениях и работы в уравнение закона сохранения энергии и решить его относительно неизвестной величины. Если же в уравнении неизвестные несколько величин, то уравнение закона сохранения энергии необходимо добавить: основное уравнение динамики материальной точки; уравнение закона сохранения количества движения; формулы кинематики.

В результате получим систему уравнений, которую можно решить относительно необходимой неизвестной величины. Следует иметь в виду, что механическая энергия в замкнутой системе не сохраняется, если внутри системы действуют силы трения, которые зависят от скорости. Поэтому работа сил трения всегда надо рассматривать как работу внешних сил.

При решении задач на использование закона сохранения импульса необходимо Ø записать уравнение сохранения импульса в векторной форме; Ø выбрать оси координат и записать уравнение в скалярном виде, взяв проекции векторов на соответствующие оси; Ø при упругом ударе необходимо учитывать, что при этом выполняется закон сохранения кинетической энергии; Ø учитывать, что механическая энергия не сохраняется при не упругом ударе. Здесь, чтобы найти скорости после удара, используют закон сохранения количества движения

Задача 1. Турист с рюкзаком массой 20 кг забирается на вершину холма высотой 10 м. Определите работу туриста по подъёму рюкзака.

Внимание !В задаче требуется найти работу туриста по подъёму рюкзака. Эта работа равна работе силы тяжести, действующей на рюкзак, взятой с обратным знаком. Для определения работы силы нужно знать перемещение точки приложения и угол между векторами силы и перемещения.

Дано: m = 20 кг h = 10 м   Найти: А —?

Решение. Работа силы тяжести равна: Ат = mgscosa. Из рисунка видно, что a = + b. Откуда Ат = -mgssinb. В свою очередь ssinb = h. Окончательно Ат = -mgh А = -Ат = mgh A = 2000 Дж Ответ: 2000 Дж.

Задача 2. Лифт массой 8 т поднимается с ускорением 0,5 м/с². Определите работы силы натяжения тросов и силы тяжести за первые 4 с движения.

Дано: m = 8 т = 8×103 кг a = 0,5 м/с2 t = 4 с   Найти: Ан, Ат —?

Решение. Для определения работы необходимо знать перемещение. Эту величину находим из уравнения кинематики.   Работа силы натяжения равна: Ан = Fнs, где s — модуль перемещения лифта (в данном случае перемещение всех точек одинаково, т. к. лифт движется поступательно). Для определения этой работы необходимо найти перемещение s за время t, а также Fн. Движение ускоренное, следовательно, s = . Согласно второму закону Ньютона (см. рис.) ma = Fн – mg. Тогда Fн = m(a + g). Откуда Aн = m(a + g) = 330 кДж. Проверим размерность полученного результата: [A] = = = [Дж]. Работа силы тяжести равна: Ат = mgs cos180° = -mgs = -mg = -314 кДж. Ответ:330 кДж; -314 кДж.

Задача 3. Человек массой m прыгает в лодку. Определите скорость лодки, если скорость человека в начале прыжка была горизонтальна и равна v. Масса лодки M. Силой сопротивления воды пренебречь.

Внимание! Рассматриваем систему человек — лодка. Проекции внешних сил: сил тяжести, действующих на человека и лодку, выталкивающей силы на горизонтальное направление равны нулю, поэтому мы можем считать, что и проекция импульса системы на это направление сохраняется.

Дано: m, M, v Найти: u —?

Решение. Импульс системы px до взаимодействия определяется только импульсом человека p1x = mv; после взаимодействия импульсом лодки и человека p2x = (m + M)u. p1x = p2x, mv = (m + M)u; откуда Отметим, что взаимодействие, в результате которого тела движутся с одинаковой скоростью, называется абсолютно неупругим ударом, так что рассмотренное взаимодействие человека с лодкой — пример абсолютно неупругого удара. Ответ:

Задача 4. На озере находится плот длиной l и массой M. Человек массой m переходит с одного края плота на другой (см. рис.). Определите смещение плота относительно берега

Внимание! Рассмотрим систему тел человек — плот. На тела системы действуют внешние силы: силы тяжести, выталкивающая сила, сила сопротивления, возникающая при движении плота в воде. Проекция последней на горизонтальное направление (ось X) не равна нулю, но так как скорость плота мала, то ею можно пренебречь. Проекции же всех остальных внешних сил на ось X равны нулю. Проекция импульса системы на эту ось сохраняется.

Дано: m, M, l     Найти: x —?

Решение. Смещение плота равно Δl = vплt, где vпл — скорость плота, t — время его движения. Очевидно, что время движения плота равно времени движения человека. Для определения vпл воспользуемся законом сохранения импульса. В начальный момент времени плот и человек неподвижны p1x = 0. Когда человек движется по плоту, плот начинает плыть, импульс системы p2x = mvч - Mvпл. Заметим, что проекции внешних сил: тяжести, выталкивающей, на ось Х равны нулю, поэтому px = const. Итак, 0 = mvч - Mvпл. (1) Человек проходит по плоту расстояние l, его скорость относительно плота равна: относительно берега — vч = vотн – vпл, или Подставив vч в уравнение (1), получим: Откуда: Ответ:

Задача 5. Ракета массой 3000 кг летит со скоростью 200 м/с. От неё отделяется ступень массой 1000 кг, при этом скорость головной части возрастает на 20 м/с. Определите скорость отделившейся части ракеты.

Внимание! В данном случае мы можем использовать закон сохранения импульса, так как внутренние силы много больше внешней силы тяжести, действующей на ракету.

Дано: m0 = 3×103 кг m = 103 кг v = 200 м/с Dv = 20 м/с   Найти: v2 —?

Решение. При решении задачи можно рассматривать движение относительно разных систем отсчёта: 1) связанной с ракетой, движущейся со скоростью v; 2) связанной с Землёй (отметим, что обе системы отсчёта инерциальные).   1. Запишем закон сохранения импульса в случае 1 (см. рис.). До отделения ступени импульс системы был равен нулю, p1 = 0. Относительно этой системы отсчёта скорость головной части после отделения стала равна u1 = Dv, скорость отделившейся части u2 направлена в противоположную сторону.   Тогда p2 = (m0 - m) u1 - m u2. А так как p1 = p2 = 0, то (m0 - m) u1 - m u2 = 0 и Относительно Земли скорость отделившейся части равна: 2. При выборе системы отсчёта, связанной с Землёй (см. рис.) импульс системы до отделения ступени был равен: После отделения В проекции на направление движения уравнение, выражающее закон сохранения импульса имеет вид: m0v = (m0 – m)v1 – mv2, v1 = v + Dv Ответ: –160 м/с.

Задача 6. Два человека на роликовых коньках стоят друг против друга. Масса первого человека m₁ = 70 кг, а второго m₂ = 80 кг. Первый бросает второму груз массой m = 10 кг со скоростью, горизонтальная составляющая которой v = 5 м/с относительно земли. Определите скорость первого человека после броска и второго после того, как он поймает груз. Трение учитывать не нужно.

Внимание!. В данном случае рассматривается система трёх тел: два человека и груз. В связи с тем, что трение не учитывается и проекции всех внешних сил на горизонтальное направление (например, на ось Х) равны нулю, проекция импульса системы на это направление сохраняется. Рассмотрим сначала систему первый человек — груз, а затем второй человек — груз. Отметим, что в условии задачи даётся скорость груза, которую мы не можем использовать, применяя закон сохранения импульса к системе в целом, так как в начальном состоянии скорость груза была равна нулю, как и скорость первого человека, а в конечном состоянии скорость груза равна скорости второго человека.

Дано: m1 = 70 кг m2 = 80 кг m = 10 кг v = 5 м/с;     Найти: v1 —?, v2 —?

Решение. Для системы первый человек — груз закон сохранения импульса в проекции на ось Х имеет вид: pIx = pIIx, 0 = m1v1 – mv. Тогда скорость v1 первого человека после броска равна v1 = м/с. Для системы груз — второй человек (см. рис.) проекция импульса на ось Х до взаимодействия равна p¢Ix = –mv. После взаимодействия имеем: p¢IIx = –(m+m2)v2. Следовательно, –mv = –(m+m2)v2, откуда для скорости v2 получаем выражение v2 = ; v2 = м/с = м/с. Заметим, что в условии задачи была дана скорость груза относительно земли, скорости первого и второго человека v1 и v2 рассчитывались относительно этой же системы отсчёта. Ответ: м/с; м/с.

Задача 7 Частица массой m₁, имеющая скорость v, налетела на покоящуюся частицу массой m₂ и отскочила от неё со скоростью v₁ под прямым углом к направлению первоначального движения. Чему равна скорость v₂ второй частицы? Массы частиц малы, и силой тяжести по сравнению с силами взаимодействия частиц можно пренебречь.

Дано: m1, m2, v, v1     Найти: v2 —?

Анализ. Для решения задачи воспользуемся законом сохранения импульса. Закон сохранения импульса позволяет нам, не зная подробностей взаимодействия частиц по начальному состоянию, определить их конечное состояние. Решение. По условию задачи Fвнеш < < Fвнутр. Оси координат выберем, как показано на рисунке. По закону сохранения импульса, = , (1) где = m1 , = m1 + m2 . (2) Запишем уравнение (2) в проекциях на оси координат: на ось Х: m1v = m1v1x + m2v2x, (v1x = 0), на ось Y: 0 = m1v1 + m2v2y, откуда: v2x = (m1/m2)v, v2y = -(m1/m2)v1. Следовательно, v2 = , v2 = (m1/m2) . Ответ: (m1/m2) .

Задача 8.К горизонтальносжатой на 10 см пружине прикрепляют груз массой 1 кг (см. рис.). Жёсткость пружины 200 Н/м. Определите скорость груза в тот момент, когда деформация пружины отсутствует

Внимание!При решении задачи используем теорему о кинетической энергии. Изменение кинетической энергии равно в данном случае работе силы упругости. (Работы сил тяжести и нормальной реакции опоры равны нулю, т. к. эти силы перпендикулярны перемещению).

Дано: m = 1 кг k= 200 Н/м x = 10 см = 0,1 м     Найти: v —?

. Решение. Изменение кинетической энергии груза равно: - 0 = . Откуда v = = м/с = 1,4 м/с. Заметим, что эту задачу также можно решить на основе закона сохранения механической энергии: потенциальная энергия деформированной пружины переходит в кинетическую энергию груза. Ответ: 1,4 м/с.

Задача 9 Шарик массой 50 г висит на нерастяжимой нити длиной 1 м. Нить отклоняют на угол 30°. Определите скорость шарика в тот момент времени, когда он проходит положение равновесия. Радиус шарика существенно меньше длины нити.

Внимание ! На шарик действуют силы тяжести и натяжения нити. Работа силы натяжения равна нулю вследствие того, что нить нерастяжима и F_Н перпендикулярна любому малому перемещению. Сила тяжести — консервативная сила, поэтому механическая энергия шарика сохраняется.

Дано: l = 1 м a = 30°     Найти: v —?

Решение. Выберем нулевой уровень отсчёта потенциальной энергии, как показано на рисунке. Кинетическая энергия шарика в точке 0 равна: Ек0 = . В точке А потенциальная энергия шарика равна: Еп = mgh = mg(l – l cos a) = mgl(1 – cos a); а Ек = 0. По закону сохранения энергии: Ек0 + Еп0 = ЕкА + ЕпА; = mgl(1 – cos a). Откуда v = = 5 м/с. Ответ: 5 м/с.

Задача 10.От удара копра массой M = 50 кг, падающего свободно с высоты 4 м, свая массой m = 150 кг погружается в грунт на 10 см. Определите среднюю силу сопротивления грунта, считая удар абсолютно неупругим

Дано: M = 50 кг m = 150 кг Ds = 10 см = 0,1 м h = 4 м     Найти: Fсопр —?

Анализ.Взаимодействие копра и сваи абсолютно неупругое. Мы можем воспользоваться для определения скорости движения сваи с копром законом сохранения импульса. Кинетическая энергия будет изменяться благодаря работе двух сил: силы сопротивления грунта и силы тяжести. Решение. При падении копра на сваю его скорость: v0 = . При абсолютно неупругом взаимодействии после удара копёр и свая движутся с одинаковой скоростью . К системе копёр — свая применим закон сохранения импульса, считая, что импульс результирующей внешних сил — силы тяжести и силы сопротивления — мал по сравнению с импульсом силы взаимодействия. Тогда в проекции на ось Y (см. рис.) закон сохранения импульса имеет вид: Mv0 = (m+M)v. (1) Кинетическая энергия системы копёр — свая после удара равна: Ек = (m+M)v2/2. Изменение кинетической энергии равно сумме работ силы сопротивления и силы тяжести: DЕк = Ат + Асопр, 0 – (m + M)v2/2 = (mg + M)Ds - FсопрDs, откуда Fсопр = mg + (M+m)v2/2Ds. Подставив v из уравнения (1), получим: Fсопр = mg + , Fсопр = 6500 Н.

Задача 11. С наклонной плоскости с углом у основания 45° начинает соскальзывать тело с высоты 0,5 м. Определите скорость тела в конце наклонной плоскости. Коэффициент трения 0,1.

Дано: a = 45° h = 0,5 м m = 0,1     Найти: v —?

Анализ.Задачу можно решить на основании второго закона Ньютона, однако это решение достаточно громоздкое. Гораздо удобнее для решения такого типа задач использовать теорему об изменении кинетической энергии. Решение. На тело действуют 3 силы (см. рис.): тяжести mg, нормальной реакции опоры и трения (Fтр = mN). Работа силы равна нулю, т. к. она перпендикулярна перемещению. Следовательно, изменение кинетической энергии равно алгебраической сумме работ сил тяжести и трения: - 0 = mgs cos b + Fтрs cos 180° или = mgs sin a - mNs. s = ; N = mg cos a. Таким образом, = mgh - mmg . Окончательно v = = = = 3 м/с. Ответ: 3 м/с.

Основные источники:

1. Физика. 10 класс: учеб. для общеобразовательных организаций: базовый уровень/Г.Я.Мякишев, Б.Б.Буховцев, Н.Н.Сотский; под ред. Н.А.Парфентьевой,-М.Просвещение, 2016 г. С. 128-130, 137-139, 152-154.

2. www.prosv.ru Электронное приложение к учебнику