Синтез дискретных систем по заданным показателям качества

В рассматриваемом ниже методе синтеза предполагается, что в соответствии с техническим заданием необходимо синтезировать систему управления с астатизмом первого порядка по задающему воздействию и с определенными первичными показателями качества такими, как время регулирования и перерегулирование. Фактически здесь требуется найти разностное уравнение, описывающее алгоритм работы ЦУУ, при котором указанные первичные показатели качества синтезированной замкнутой системы будут не хуже заданных.

Перейдем к изложению метода синтеза. При этом будем считать, что структура проектируемой системы управления соответствует, приведенной на рис. 16.1, причем выполняются все указанные в начале данной главы предположения в отношении АЦП и ЦАП так, что расчетную схему синтезируемой системы с цифровым управлением можно представить в виде, показанном на рис. 16.3. Отметим, что ЦУУ строиться здесь также на основе управления по выходу и воздействиям, с использованием полиномиального подхода.

Передаточная функция дискретного объекта управления (ДОУ) может быть получена описанными в § 15.3 и в § 15.4 способами либо из уравнений в переменных состояния непрерывной части системы по формулам (15.3) – (15.10), (15.18), либо на основе её передаточной функции по формуле (15.23). При цифровом управлении длительность импульсов ЦАП всегда равна периоду следования Т, поэтому здесь формула (15.23) значительно упрощается и принимает вид

, (16.19)

где , – некоторые полиномы.

Замечание. Так как длительность импульсов ЦАП всегда равна периоду следования Т, то -преобразование в формуле (16.19) удобнее всего осуществлять на ЭВМ с помощью функции c2d из пакета MATLAB, как показано в примере 15.4.

Пример 16.3. Допустим, на непрерывный объект с передаточной функцией

поступают импульсы управления с ЦАП, с периодом следования Т = 0,15с. Найти полиномы соответствующей дискретной передаточной функции (16.19).

Решение в MATLAB.

% команды:

w = tf(5, [0.5 1.5 1]);

wd = c2d(w,0.15)

% результат:

Transfer function:

0.09701 z + 0.0835

----------------------

z^2 - 1.602 z + 0.6376

Sampling time: 0.15

Таким образом, в данном примере , а .

В дальнейшем будем считать, что полиномы из (16.19) известны, и обозначим , . Равенству (16.19) соответствует следующее уравнение «вход-выход» объекта управления в z-изображениях:

. (16.20)

Так как, согласно рис. 16.3, на вход ЦУУ поступают переменные и , а на его выходе формируется , то по аналогии с уравнением (8.3) непрерывного устройства управления уравнение ЦУУ с учетом запаздывания на период можно записать так:

, (16.21)

где , , – некоторые неизвестные полиномы. Именно эти полиномы необходимо найти в результате решения задачи синтеза. Это объясняется тем, что, как будет показано ниже, переход от уравнения (16.21) к соответствующему алгоритму работы ЦУУ типа (16.1), (16.2) или (16.16) при выполнении условий физической реализуемости не представляет каких-либо сложностей.

Множитель z^–1 в правой части (16.21), в соответствии с условием (16.3), учитывает запаздывание на такт, которое возникает в ЦУУ из-за указанных выше затрат времени на обработку информации и вычисление u_k. Поэтому условия физической реализуемости уравнения «вход-выход» ЦУУ (16.21) имеют вид

, . (16.22)