Переходные процессы дискретных систем
Показатели качества дискретных (естественно, устойчивых) систем и методы их исследования практически полностью аналогичны случаю непрерывных систем. Это касается управляемости, наблюдаемости, астатизма, показателей качества в переходном и установившемся режимах. Поэтому на методах исследования управляемости, наблюдаемости и определения показателей качества дискретных систем здесь останавливаться не будем. Рассмотрим лишь отличительные особенности и порядок построения переходных процессов дискретных систем.
Условия конечной длительности.Одной из важных особенностей дискретных систем является возможность обеспечения переходных процессов конечной длительности. Такой переходной процесс длится ровно n периодов квантования, где n – порядок системы. Условия существования переходного процесса конечной длительности определяются следующей теоремой.
Теорема. Если знаменатель передаточной функции дискретной системы по некоторому воздействию равен , т.е.
. (15.54)
то переходный процесс данной системы по этому воздействию длится ровно n периодов T квантования по времени. ■
Пример 15.13.Найти длительность переходного процесса дискретной системы с передаточной функцией при и нулевых начальных условиях, если с.
Решение. Воспользуемся рекуррентным методом решения разностных уравнений. В данном случае это уравнение имеет вид . Разделим обе его части на и перейдём к оригиналам. В результате получим .
Полагая последовательно в этом выражении , будем иметь Как видно, в полном соответствии с условием (15.54), через три такта выходная переменная принимает установившееся значение 0,9; т.е. переходный процесс длится ровно три периода квантования по времени, и его длительность с. При этом предыдущие значения выходной переменной не влияют на её последующие значения ни при каком k. ■
Условие (15.54) приведенной теоремы, при котором обеспечивается конечная длительность переходных процессов дискретных систем, часто применяется при создании систем управления с заданной длительностью переходных процессов. Иногда такие дискретные системы называются оптимальными по быстродействию.
Для построения переходных процессов дискретных систем, как и непрерывных, целесообразно использовать ЭВМ. Приведём некоторые примеры.
Пример 15.14. Найти аналитические выражения для переходной hk и импульсной переходной (весовой) wk функции дискретной системы, которая описывается уравнениями
, .
Решение в MATLAB:
% команды:
sys = ss([0 1 0;0 0 1;0.105 0.41 -0.1],[0 0 1]',[0.245 0.34 0],0);
sys1 = tf(sys); set(sys1,'Variable','z')
sys1
Transfer function:
0.34 z + 0.245
------------------------------
z^3 + 0.1 z^2 - 0.41 z - 0.105
% затем вводим следующие команды:
syms z k
hk=iztrans((.34*z+.245)*z/((z^2+.8*z+.15)*(z-.7)*(z-1)),k)
wk=iztrans((.34*z+.245)/((z^2+.8*z+.15)*(z-.7)),k)
% результаты:
hk =
11/20*(-3/10)^k-5/24*(-1/2)^k-161/120*(7/10)^k+1
wk = -7/3*charfcn[0](k)+143/60*(-3/10)^k-5/8*(- -1/2)^k+23/40*(7/10)^k
Следовательно
.
Выражение для wk выдаваемое MATLAB имеет ряд особенностей. В частности, charfcn[0](k) – это обозначение в системе MATLAB дискретной δ-функции δ(k). Поэтому выражение для wk формально имеет вид
.
Однако такое выражение не может соответствовать весовой функции рассматриваемой системы с физической точки зрения. Это связано с тем, что в реакции системы, числитель передаточной функции которой меньше степени знаменателя, не может содержаться составляющая, пропорциональная δ-функции. К этому же выводу можно прийти, если wk найти как разность hk – hk – 1. Поэтому для получения выражения, которое корректно описывает весовую функцию, необходимо преобразовать выданное MATLAB выражение (к переменной k – 1) следующим образом:
, .
При этом оба приведённых выражения дают, естественно, одни и те же значения wk при всех k = 0, 1, 2, … . ■
В ряде случаев необходимо получить только графики переходной hk и импульсной переходной (весовой) wk функций дискретных систем. Для этой цели MATLAB используется следующим образом.
Пример 15.15. Построить графики переходной hk и импульсной переходной (весовой) wk функций дискретной системы, передаточная функция которой имеет вид
,
а период квантования Т = 1,2.
Решение в MATLAB:
% команды:
sys=tf ([0.34 0.245],[1 0.1 0.695 -0.105], 1.2);
step(sys)
impulse(sys)
Графики, выданные MATLAB, приведены на рис. 15.15. ■
Пример 15.16. Построить графики переходной hk и импульсной переходной (весовой) wk функций дискретной системы, заданной уравнениями в переменных состояния
, , где
, , , ,
а период квантования Т = 0,3.
Решение в MATLAB:
% команды:
sys=ss([-3 2;1 -2],[0;1],[2 0], 0, 0.3);
step(sys)
impulse(sys)
Графики функций hk и wk и в этом случае имеют вид, аналогичный приведённым на рис. 15.15. ■
Замечание. На графиках рис. 15.15, выданных MATLAB, значениям функций hk и wk соответствуют лишь отрезки вертикальных линий при . Остальные линии являются ничем не обоснованной экстраполяцией этих значений.
Дата добавления: 2022-05-27; просмотров: 204;