Модальное дискретное управление

При синтезе модального управления обычно предполагается, что объект управления вместе с ЦАП задан своей дискретной моделью в переменных состояния, например, вида

, , (16.4)

где элементы матрицы A и векторов b и c имеют известные численные значения, определённые по выражениям (15.3) – (15.12) или каким либо другим способом.

В отличие от схемы, изображенной на рис. 16.2, в этом случае в ЦУУ вместо кодов управляемой переменной поступают формируемые АЦП также с периодом T коды , соответствующие значениям всех переменных состояния , объекта управления, которые измеряются специальными датчиками.

Дискретное модальное управление, по аналогии с непрерывным, ищется в виде

. (16.5)

Коэффициенты k_i здесь, как и в непрерывном случае, выбираются так, чтобы корни характеристического уравнения замкнутой системы (16.4), (16.5) имели заданные значения.

Управление (16.5) является идеализированным в том смысле, что оно не учитывает указанного выше запаздывания, обусловленного затратами времени на измерение и преобразование сигналов, а также на расчет управления в цифровом вычислителе. Следовательно, управление (16.5), как отмечалось выше, можно применять, если указанные затраты времени, по крайней мере, на порядок меньше периода квантования T, и их влиянием на свойства системы управления можно пренебречь.

Для вывода соотношений, позволяющих вычислить значения коэффициентов в равенстве (16.5), найдем уравнение дискретной системы с модальным управлением. Для этого подставим равенство (16.5) в уравнение (16.4). В результате будем иметь

. (16.6)

Далее найдём характеристический полином замкнутой системы (16.6). Переходя в равенстве (16.6) к z-изображениям при нулевых начальных условиях и проведя очевидные преобразования, получим

. (16.7)

Отсюда следует, что характеристический полином замкнутой системы (16.6) определяется выражением

. (16.8)

С использованием свойств определителей правую часть этого равенства можно представить так

, (16.9)

где

(16.10)

– характеристический полином заданного объекта управления (16.4). При этом полином имеет степень и содержит ровно n произвольных коэффициентов , . Степень характеристического полинома замкнутой системы также равна n, т.е. равна числу варьируемых коэффициентов в управлении (16.5). Поэтому выбором этих коэффициентов можно обеспечить любые заданные значения корней характеристического полинома (16.8) или (16.9). В общем случае это можно осуществить, если объект (16.4) является полностью управляемым, т.е. если , где матрица . При этом процедура расчета коэффициентов из (16.5) полностью аналогична этой процедуре в непрерывном случае (см. § 7.2, § 7.3).

В частности, если заданные уравнение (16.4) представлены в канонической управляемой форме (15.28), (15.29), то полином

. (16.11)

В этом случае коэффициенты k_i, в соответствии с выражениями (16.9) – (16.11), определяются по формулам

, , (16.12)

где – коэффициенты желаемого полинома, корни которого равны заданным (желаемым) полюсам замкнутой системы, а – коэффициенты полинома (16.10).

Пример 16.1.Для объекта

(16.13)

найти управление (16.5), при котором корни характеристического уравнения замкнутой дискретной системы будут равны , .

Решение. Прежде всего, отмечаем, что в данном случае уравнение объекта представлено в канонической управляемой форме, поэтому коэффициенты его характеристического полинома равны ; , а корни , . Так как один из корней больше единицы по модулю, то заданный объект без управления является неустойчивым. Поэтому модальное управление должно быть, прежде всего, стабилизирующим. Желаемый полином, корни которого равны заданным, очевидно, имеет вид

,

т.е. ; . В данном случае дискретное уравнение объекта (16.13) представлено в канонической управляемой форме, поэтому по формулам (16.12) находим

, .

Следовательно, искомое модальное дискретное управление определяется выражением

.

Проверим полученный результат. Подставляя найденное управление в уравнение (16.13) при , получим

.

Отсюда следует, что характеристический полином синтезированной системы равен . Таким образом, при найденном управлении корни характеристического уравнения (полюсы) замкнутой системы имеют заданные значения, т.е. качество процесса управления соответствует заданным полюсам. ■

Отметим, что рассмотренный порядок синтеза модального управления может применяться в тех случаях, когда быстродействие применяемого ЦУУ достаточно велико, т.е. вносимое им запаздывание на один – два порядка меньше периода следования импульсов.