Оценка точности дискретных систем

Как и в случае непрерывных систем, точность дискретных систем определяется величиной ошибки, с которой система воспроизводит задающее и подавляет возмущающие воздействия. Для определения ошибок дискретных систем, вызванных полиномиальными воздействиями удобнее всего применять метод коэффициентов ошибок или теоремы о предельных значениях.

Если дискретная система (рис. 15.10) имеет главную обратную связь, равную минус единице, то её передаточная функция по ошибке от задающего воздействия определяется выражением (15.59). Аналогично можно найти и передаточную функцию по ошибке от некоторого возмущающего воздействия . Эти передаточные функции позволяют

найти ошибку дискретной системы методом коэффициентов ошибки.

Рассмотрим порядок применения этого метода. Вызванная некоторымвоздействием ошибка дискретной системы в соответствии с методом коэффициентов ошибки определяется выражением

, (15.64)

где – i-я разность воздействия , а – i-й коэффициент ошибки по этому воздействию. В дискретном случае коэффициенты ошибки дискретных систем определяются путем разложения в ряд по степеням двучлена (z – 1) передаточной функции по ошибке от воздействия , т.е.

. (15.65)

Для вычисления коэффициентов ошибки обычно в заменяется z на сумму , т.е. проводится замена . В результате получается . Далее либо применяются те же равенства (5.29), что и в непрерывном случае, либо числитель делится на её знаменатель, начиная с младшей степени. Результатом деления обычно является бесконечный ряд по , коэффициенты первых членов которого являются искомыми коэффициентами ошибки.

При постоянной ошибке целесообразно применять теорему z-преобразования о предельном значении (см. стр. 354). Это значительно упрощает процесс определения численного значения ошибки.

Пример 15.19. Вычислить методом коэффициентов ошибки погрешность воспроизведения параболического задающего воздействия дискретной системой (рис. 15.10), если её передаточная функция в разомкнутом состоянии

,

задающий сигнал , период квантования с, а время работы системы с.

Решение.Так как период квантования , то в дальнейшем будем полагать . В данном случае степень полинома воздействия равна 2, поэтому для вычисления ошибки достаточно найти лишь первые три коэффициента ошибки , и , так как все более высокие разности при i = 3, 4, … равны нулю.

Воздействие является задающим, поэтому передаточная функция по ошибке определяется по (15.59). Далее, полагая, как отмечалось выше, , получим

.

или

.

Как и при выводе формул (5.29) умножим ряд в правой части этого равенства на полином знаменателя , начиная с младшей степени λ, и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях λ полученного произведения к соответствующим коэффициентам числителя. В результате получим значения искомых коэффициентов ошибки:

, , .

Эти же значения можно получить путем деления полинома числителя на полином знаменателя , предварительно записав их по возрастающей степени λ :

Согласно (15.64), в данном случае достаточно определить первые две разности входного воздействия g(k) = 2k²:

,

.

Теперь по (15.64) вычисляем ошибку системы

.

Если с, то при с число периодов работы системы . Следовательно, . Как видим, ошибка рассматриваемой системы от параболического воздействия увеличивается по мере увеличения времени работы системы. Это объясняется тем, что

порядок астатизма системы по этому воздействию меньше его степени. ■

Пример 15.20. Задающее воздействие системы . Определить порядок астатизма и ошибку дискретной САУ (рис. 15.10) по этому воздействию, если её передаточная функция в разомкнутом состоянии

,

а период квантования T = 1 с.

Решение. По формуле (15.59) в данном случае передаточная функция по ошибке от задающего воздействия определяется выражением

.

В соответствии с полученным выражением и критерием (15.63) порядок астатизма заданной системы равен 1. Поскольку степень задающего воздействия тоже равна 1, то ошибка, вызванная этим воздействием, будет постоянной. Для её определения проще всего воспользоваться теоремой о предельном значении (см. стр. 354):

.

В данном случае z-изображение входного воздействия , поэтому

. ■

Таким образом, метод коэффициентов ошибки или теорема о предельном значении позволяют достаточно просто найти ошибки дискретных систем, вызванные полиномиальными воздействиями.

Г л а в а 16